Derive as funções:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem a função e precisa derivar ela, ou seja, encontrar . Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente as regras de derivação para funções exponenciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que pode ser escrita como . Isso fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a derivada de uma função exponencial em relação a é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos identificar e calcular a sua derivada. Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da derivada da função exponencial que mencionamos no Passo 3. Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Multiplicando os termos, temos:
Podemos também escrever isso como:

Resposta

A derivada da função é:

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Resolva a equação diferencial com condição inicial: .
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