Resolva a equação diferencial com condição inicial: .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente equações separáveis.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação é uma equação separável. Isso significa que conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial.
A integral de em relação a é , e a integral de 1 em relação a é . Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para :

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que quando , .
Substituindo esses valores na equação:

Passo 7

Vamos resolver para :

Passo 8

Finalmente, substituímos na equação geral para encontrar a solução particular:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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Derive as funções
Derive as funções: