Resolva a equação diferencial com condição inicial:
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial da forma
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente equações separáveis.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação
é uma equação separável. Isso significa que conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial.
A integral de
em relação a
é
, e a integral de 1 em relação a
é
. Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
.
Substituindo esses valores na equação:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
na equação geral para encontrar a solução particular:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
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e
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.
Derive as funções
Derive as funções: