Resolva a equação diferencial com condição inicial: .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso significa que queremos encontrar uma função cuja derivada em relação a seja igual a , e que, quando , seja igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre integração, que é o processo inverso da diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa a derivada de em relação a . Então, precisamos encontrar uma função cuja inclinação em qualquer ponto seja igual a . Para isso, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos integrar :
A integral de em relação a é simplesmente , e a integral de em relação a é . Então, temos:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação que encontramos:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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