Resolva a equação diferencial com condição inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso significa que queremos encontrar uma função
cuja derivada em relação a
seja igual a
, e que, quando
,
seja igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre integração, que é o processo inverso da diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. Então, precisamos encontrar uma função
cuja inclinação em qualquer ponto
seja igual a
. Para isso, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
:
A integral de
em relação a
é simplesmente
, e a integral de
em relação a
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação que encontramos:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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.
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