Derive:
i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, especificamente de derivação. A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vou te mostrar cada passo para chegarmos na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função que vamos derivar. Temos:
  • e são constantes, ou seja, não mudam quando muda.
  • é uma função exponencial onde a base é 2 e o expoente é .
  • é uma função trigonométrica.
Nossa função completa é o produto dessas partes. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de dois multiplicados é a derivada do primeiro multiplicado pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.

Passo 3

Vamos denominar:
Então, a nossa função fica .
Primeiro, vamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia:
Explicando:
  • Derivada de é , onde
  • Derivada de é

Passo 4

Agora, vamos derivar :
Explicando:
  • Derivada de é , onde
  • Derivada de é

Passo 5

Aplicando a regra do produto para :
Substituindo e :

Passo 6

Agora, juntando tudo e multiplicando pelas constantes :

Passo 7

Simplificando a expressão:
Podemos fatorar :

Resposta

A derivada da função é:

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c)
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x)
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n)
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t)