Derive implicitamente as funções 2x^2y + y^2 = xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica onde diferenciamos ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação:
  1. Termo : Aqui temos um produto de e , então usamos a regra do produto:
    Explicação: Derivamos que dá e deixamos como está, depois somamos vezes a derivada de .
  2. Termo : Aqui usamos a regra da cadeia:
    Explicação: Derivamos em relação a que dá e multiplicamos pela derivada de em relação a .
  3. Termo (lado direito da equação): Novamente, usamos a regra do produto:
    Explicação: Derivamos que dá e deixamos como está, depois somamos vezes a derivada de .

Passo 3

Agora, juntamos todas as derivadas:
Vamos isolar os termos que contêm :
Fatorando dos termos da esquerda:

Passo 4

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada de em relação a é:

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