Derive.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A questão é encontrar a derivada da função
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com regras de derivação de funções polinomiais e a regra do produto. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e algumas propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como
muda quando
muda um pouquinho.
Passo 3
Nossa função
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz:
Passo 4
Vamos começar encontrando as derivadas de
e
.
Primeiro,
. Usando a regra da potência, a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora, derivamos
:
Passo 6
Agora que temos
e
, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar cada parte:
Primeira parte:
Simplificando:
Segunda parte:
Simplificando:
Passo 8
Agora, juntamos as duas partes:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Resolver o exercício 31 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para , escrevendo-a em termos de
e
, e, então, encontre
.
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.
Sejam duas esferas condutoras
e
, de raios
e
, respectivamente. A esfera
com carga
e a esfera
descarregada estão separadas por uma grande distância. Supondo
e ligando as esferas por um fio condutor muito fino e longo, determine as cargas finais
e
nas esferas
e
, respectivamente, em função de
.