Derive. J(v)=(v^3-2 v)(v^-4+v^-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A questão é encontrar a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com regras de derivação de funções polinomiais e a regra do produto. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e algumas propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como muda quando muda um pouquinho.

Passo 3

Nossa função ddv[u(v) cdot w(v)] = u'(v) cdot w(v) + u(v) cdot w'(v) é o produto de duas funções: e . Para derivar o produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que diz:

Passo 4

Vamos começar encontrando as derivadas de u'(v) = 3v^2 - 2 e .
Primeiro, . Usando a regra da potência, a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, derivamos w'(v) = -4v^-5 - 2v^-3 :

Passo 6

Agora que temos J'(v) = u'(v) cdot w(v) + u(v) cdot w'(v) e J'(v) = (3v^2 - 2)(v^-4 + v^-2) + (v^3 - 2v)(-4v^-5 - 2v^-3) , aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada parte:
Primeira parte:
(3v^2 - 2)(v^-4 + v^-2) = 3v^2 cdot v^-4 + 3v^2 cdot v^-2 - 2 cdot v^-4 - 2 cdot v^-2 = 3v^-2 + 3v^0 - 2v^-4 - 2v^-2
Simplificando:
3v^-2 + 3 - 2v^-4 - 2v^-2 = v^-2 + 3 - 2v^-4
Segunda parte:
(v^3 - 2v)(-4v^-5 - 2v^-3) = v^3 cdot (-4v^-5) + v^3 cdot (-2v^-3) - 2v cdot (-4v^-5) - 2v cdot (-2v^-3)
Simplificando:
-4v^-2 - 2v^0 + 8v^-4 + 4v^-2 = (-4v^-2 + 4v^-2) - 2 + 8v^-4 = -2 + 8v^-4

Passo 8

Agora, juntamos as duas partes:
J'(v) = (v^-2 + 3 - 2v^-4) + (-2 + 8v^-4) = v^-2 + 3 - 2v^-4 - 2 + 8v^-4
Simplificando:
J'(v) = v^-2 + 1 + 6v^-4

Resposta

A derivada de J'(v) = v^-2 + 1 + 6v^-4 é:

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