.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com Limites no Cálculo, especificamente analisando o comportamento de uma função quando
cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências de
e as funções trigonométricas se comportam à medida que
se aproxima do infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios, mas há um termo trigonométrico
no numerador. Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Portanto, o termo
vai oscilar entre
e
.
Assim, a expressão original pode ser vista como:
Passo 3
Agora, vamos analisar os termos de maior grau em
no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é
, e no denominador, após expandir
, o termo de maior grau será
.
Sabemos que, para limites no infinito, os termos de menor grau se tornam insignificantes. Portanto, podemos simplificar a expressão considerando apenas os termos de maior grau:
Passo 4
Embora tenhamos ignorado os termos de menor grau inicialmente, é importante confirmar que eles não afetam o limite. Como
está multiplicado por
, ele cresce mais lentamente do que
. Além disso,
está limitado entre -1 e 1, então
nunca excederá
em magnitude.
Portanto, à medida que
tende ao infinito, a contribuição de
em relação a
se torna desprezível.
Resposta
O limite quando
tende ao infinito da expressão dada é 2.