lim x infty 2 x 3+3 x 2 cos x(x+2) 3.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando limx infty 2x^3 + 3x^2 cos x(x + 2)^3 tende ao infinito da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com Limites no Cálculo, especificamente analisando o comportamento de uma função quando cresce sem limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências de e as funções trigonométricas se comportam à medida que se aproxima do infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios, mas há um termo trigonométrico 2x^3 + algo que oscila entre -3x^2 e 3x^2(x + 2)^3 no numerador. Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Portanto, o termo vai oscilar entre e .
Assim, a expressão original pode ser vista como:

Passo 3

Agora, vamos analisar os termos de maior grau em limx infty 2x^3x^3 = limx infty 2 = 2 no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é , e no denominador, após expandir , o termo de maior grau será .
Sabemos que, para limites no infinito, os termos de menor grau se tornam insignificantes. Portanto, podemos simplificar a expressão considerando apenas os termos de maior grau:

Passo 4

Embora tenhamos ignorado os termos de menor grau inicialmente, é importante confirmar que eles não afetam o limite. Como está multiplicado por , ele cresce mais lentamente do que . Além disso, está limitado entre -1 e 1, então nunca excederá em magnitude.
Portanto, à medida que tende ao infinito, a contribuição de em relação a se torna desprezível.

Resposta

O limite quando tende ao infinito da expressão dada é 2.

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