Se f for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
lll (c) 1+x f(x)raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente envolvendo funções compostas e regras de derivação como a regra do produto e a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar saber como derivar produtos e quocientes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é:
1 + x f(x)raizx
Podemos reescrever o denominador (1 + x f(x)) cdot x^-1/2 como . Assim, a função fica:
Agora, temos um produto de duas funções: e .

Passo 3

Vamos usar a regra do produto para derivar essa função. A regra do produto diz que a derivada de u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar u'(x) = 0 + (1 cdot f(x) + x cdot f'(x)) = f(x) + x f'(x) . Essa função é composta por uma constante e um produto de e . Aplicando a regra do produto novamente:

Passo 5

Agora, vamos derivar v'(x) = -12 x^-3/2 . Usamos a regra do poder, que afirma que a derivada de é :

Passo 6

Agora que temos ddx(1 + x f(x)raizx) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) , = (f(x) + x f'(x)) cdot x^-1/2 + (1 + x f(x)) cdot (-12 x^-3/2) , e , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
= f(x) x^-1/2 + x f'(x) x^-1/2 - 12 x^-3/2 - 12 x f(x) x^-3/2
Simplificando os exponentes:
= f(x) x^-1/2 + f'(x) x^1 - 1/2 - 12 x^-3/2 - 12 f(x) x^1 - 3/2
= f(x) x^-1/2 + f'(x) x^1/2 - 12 x^-3/2 - 12 f(x) x^-1/2
Combine termos semelhantes:
= (f(x) - 12 f(x)) x^-1/2 + f'(x) x^1/2 - 12 x^-3/2
= 12 f(x) x^-1/2 + f'(x) x^1/2 - 12 x^-3/2

Resposta

A derivada da função 12 f(x) x^-1/2 + f'(x) x^1/2 - 12 x^-3/2 é:

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