Se for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente envolvendo funções compostas e regras de derivação como a regra do produto e a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar saber como derivar produtos e quocientes de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é:
Podemos reescrever o denominador como . Assim, a função fica:
Agora, temos um produto de duas funções: e .

Passo 3

Vamos usar a regra do produto para derivar essa função. A regra do produto diz que a derivada de é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos derivar . Essa função é composta por uma constante e um produto de e . Aplicando a regra do produto novamente:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Usamos a regra do poder, que afirma que a derivada de é :

Passo 6

Agora que temos , , e , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Simplificando os exponentes:
Combine termos semelhantes:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Resolver o exercício 31 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para , escrevendo-a em termos de e , e, então, encontre .
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.
Inicialmente, um único capacitor é ligado a uma bateria. Então um capacitor (descarregado) é adicionado em paralelo a . São a diferença de potencial através de
Derive.
Sejam duas esferas condutoras e , de raios e , respectivamente. A esfera com carga e a esfera descarregada estão separadas por uma grande distância. Supondo e ligando as esferas por um fio condutor muito fino e longo, determine as cargas finais e nas esferas e , respectivamente, em função de .