Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente envolvendo funções compostas e regras de derivação como a regra do produto e a regra do quociente. Para resolver, vamos precisar saber como derivar produtos e quocientes de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função dada é:
Podemos reescrever o denominador
como
. Assim, a função fica:
Agora, temos um produto de duas funções:
e
.
Passo 3
Vamos usar a regra do produto para derivar essa função. A regra do produto diz que a derivada de
é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 4
Vamos derivar
. Essa função é composta por uma constante e um produto de
e
. Aplicando a regra do produto novamente:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Usamos a regra do poder, que afirma que a derivada de
é
:
Passo 6
Agora que temos
,
, e
, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Simplificando os exponentes:
Combine termos semelhantes:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Resolver o exercício 31 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para , escrevendo-a em termos de
e
, e, então, encontre
.
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.
Inicialmente, um único capacitor
é ligado a uma bateria. Então um capacitor
(descarregado) é adicionado em paralelo a
. São a diferença de potencial através de
Derive.
Sejam duas esferas condutoras
e
, de raios
e
, respectivamente. A esfera
com carga
e a esfera
descarregada estão separadas por uma grande distância. Supondo
e ligando as esferas por um fio condutor muito fino e longo, determine as cargas finais
e
nas esferas
e
, respectivamente, em função de
.