Resolver o exercício 31 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para , escrevendo-a em termos de e , e, então, encontre .
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 31 do livro de Cálculo do James Stewart juntos! O exercício tem três partes e envolve derivadas, especificamente usando a Regra do Quociente. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra e também como simplificar expressões usando funções trigonométricas como seno ( ) e cosseno ( ).

Passo 2

Parte (a): Primeiro, vamos usar a Regra do Quociente para derivar a função .
A Regra do Quociente diz que se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, , então a derivada dela é:
Aqui, identificamos:
Agora, vamos derivar e :
é
Aplicando a Regra do Quociente:

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos simplificar a expressão para usando e , e depois encontrar a derivada .
Primeiro, lembrando que , então podemos reescrever :
Agora, vamos derivar essa expressão. Usaremos a Regra do Produto, que diz que se , então:
Aqui, temos:
Derivando cada parte:
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 4

Parte ©: Agora, vamos mostrar que as respostas das partes (a) e (b) são equivalentes.
Da parte (a), tínhamos:
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que e . Substituindo:
Multiplicando numerador e denominador por para simplificar:
Que é exatamente o que obtivemos na parte (b):
Portanto, as duas formas de calcular a derivada resultam na mesma expressão, provando que estão equivalentes.

Resposta

A derivada da função é:

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