Resolver o exercício 31 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função f(x)=t g(x)-1sec (x)
(b) Simplifique a expressão para f(x), escrevendo-a em termos de sen(x) e cos (x), e, então, encontre f^prime(x).
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a. 1+tg(x)sec (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 31 do livro de Cálculo do James Stewart juntos! O exercício tem três partes e envolve derivadas, especificamente usando a Regra do Quociente. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra e também como simplificar expressões usando funções trigonométricas como seno ( sin) e cosseno ( cos).

Passo 2

Parte (a): Primeiro, vamos usar a Regra do Quociente para derivar a função ( uv )' = u' cdot v - u cdot v'v^2 .
A Regra do Quociente diz que se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja, u'(x) = t cdot g'(x) , então a derivada dela é:
v'(x) = sec(x) cdot tan(x) (porque a derivada de sec(x) é sec(x)tan(x))
Aqui, identificamos:
  • f'(x) = t cdot g'(x) cdot sec(x) - (t cdot g(x) - 1) cdot sec(x) tan(x)sec^2(x)
Agora, vamos derivar e :
é
Aplicando a Regra do Quociente:

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos simplificar a expressão para sin(x) usando cos(x) e f(x) = t cdot g(x) - 11cos(x) = (t cdot g(x) - 1) cdot cos(x) , e depois encontrar a derivada f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) .
Primeiro, lembrando que u'(x) = t cdot g'(x) , então podemos reescrever v'(x) = -sin(x) :
f'(x) = t cdot g'(x) cdot cos(x) + (t cdot g(x) - 1) cdot (-sin(x))
Agora, vamos derivar essa expressão. Usaremos a Regra do Produto, que diz que se f'(x) = t cdot g'(x) cdot cos(x) - (t cdot g(x) - 1) cdot sin(x) , então:
Aqui, temos:
Derivando cada parte:
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 4

Parte ©: Agora, vamos mostrar que as respostas das partes (a) e (b) são equivalentes.
Da parte (a), tínhamos:
f'(x) = t cdot g'(x) cdot sec(x) - (t cdot g(x) - 1) cdot sec(x) tan(x)sec^2(x)
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que f'(x) = t cdot g'(x) cdot 1cos(x) - (t cdot g(x) - 1) cdot 1cos(x) cdot sin(x)cos(x)1cos^2(x) e f'(x) = t cdot g'(x) cos(x) - (t cdot g(x) - 1) sin(x)1 = t cdot g'(x) cos(x) - (t cdot g(x) - 1) sin(x) . Substituindo:
f'(x) = t cdot g'(x) cdot cos(x) - (t cdot g(x) - 1) cdot sin(x)
Multiplicando numerador e denominador por para simplificar:
Que é exatamente o que obtivemos na parte (b):
Portanto, as duas formas de calcular a derivada resultam na mesma expressão, provando que estão equivalentes.

Resposta

A derivada da função f'(x) = t cdot g'(x) cdot cos(x) - (t cdot g(x) - 1) cdot sin(x) é:

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