Resolver o exercício 31 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para
, escrevendo-a em termos de
e
, e, então, encontre
.
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 31 do livro de Cálculo do James Stewart juntos! O exercício tem três partes e envolve derivadas, especificamente usando a Regra do Quociente. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra e também como simplificar expressões usando funções trigonométricas como seno (
) e cosseno (
).
Passo 2
Parte (a): Primeiro, vamos usar a Regra do Quociente para derivar a função
.
A Regra do Quociente diz que se temos uma função que é o quociente de duas funções, ou seja,
, então a derivada dela é:
Aqui, identificamos:
Agora, vamos derivar
e
:
Aplicando a Regra do Quociente:
Passo 3
Parte (b): Agora, vamos simplificar a expressão para
usando
e
, e depois encontrar a derivada
.
Primeiro, lembrando que
, então podemos reescrever
:
Agora, vamos derivar essa expressão. Usaremos a Regra do Produto, que diz que se
, então:
Aqui, temos:
Derivando cada parte:
Aplicando a Regra do Produto:
Passo 4
Parte ©: Agora, vamos mostrar que as respostas das partes (a) e (b) são equivalentes.
Da parte (a), tínhamos:
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
e
. Substituindo:
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Que é exatamente o que obtivemos na parte (b):
Portanto, as duas formas de calcular a derivada resultam na mesma expressão, provando que estão equivalentes.
Resposta
A derivada da função
é:
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Inicialmente, um único capacitor
é ligado a uma bateria. Então um capacitor
(descarregado) é adicionado em paralelo a
. São a diferença de potencial através de
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, useo. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Derive.