Sejam duas esferas condutoras e , de raios e , respectivamente. A esfera com carga e a esfera descarregada estão separadas por uma grande distância. Supondo e ligando as esferas por um fio condutor muito fino e longo, determine as cargas finais e nas esferas e , respectivamente, em função de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas esferas condutoras, A e B, com raios e respectivamente. A esfera A está carregada com uma carga , enquanto a esfera B está descarregada. As esferas estão muito afastadas inicialmente, mas depois conectamos elas com um fio condutor fino e longo. Queremos descobrir as cargas finais e nas esferas após a conexão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, especificamente a distribuição de carga em condutores e a potencial elétrico.

Passo 2

Quando duas esferas condutoras são conectadas por um fio, as cargas elétricas se redistribuem de forma que o potencial elétrico em ambas as esferas seja o mesmo. O potencial elétrico de uma esfera condutora é dado pela fórmula:
onde:
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é a carga na esfera,
  • é o raio da esfera.

Passo 3

Como as esferas estão conectadas, seus potenciais serão iguais após a redistribuição das cargas. Vamos chamar as cargas finais de para a esfera A e para a esfera B. Assim, temos:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 4

Sabemos que a carga total antes de conectar as esferas é (já que a esfera B estava descarregada). Após a conexão, a carga total permanece a mesma, ou seja:

Passo 5

Também nos foi dado que . Vamos substituir isso na equação de potenciais iguais:
Simplificando :

Passo 6

Agora, substituímos na equação da carga total:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:

Passo 7

Resolvendo para :
E, como :

Resposta

As cargas finais são na esfera A e na esfera B.

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Derive.
Se for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
.
Calcule as integrais definidas a seguir: