Sejam duas esferas condutoras
e
, de raios
e
, respectivamente. A esfera
com carga
e a esfera
descarregada estão separadas por uma grande distância. Supondo
e ligando as esferas por um fio condutor muito fino e longo, determine as cargas finais
e
nas esferas
e
, respectivamente, em função de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas esferas condutoras, A e B, com raios
e
respectivamente. A esfera A está carregada com uma carga
, enquanto a esfera B está descarregada. As esferas estão muito afastadas inicialmente, mas depois conectamos elas com um fio condutor fino e longo. Queremos descobrir as cargas finais
e
nas esferas após a conexão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, especificamente a distribuição de carga em condutores e a potencial elétrico.
Passo 2
Quando duas esferas condutoras são conectadas por um fio, as cargas elétricas se redistribuem de forma que o potencial elétrico em ambas as esferas seja o mesmo. O potencial elétrico
de uma esfera condutora é dado pela fórmula:
onde:
-
é a constante eletrostática ( ), -
é a carga na esfera, -
é o raio da esfera.
Passo 3
Como as esferas estão conectadas, seus potenciais serão iguais após a redistribuição das cargas. Vamos chamar as cargas finais de
para a esfera A e
para a esfera B. Assim, temos:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 4
Sabemos que a carga total antes de conectar as esferas é
(já que a esfera B estava descarregada). Após a conexão, a carga total permanece a mesma, ou seja:
Passo 5
Também nos foi dado que
. Vamos substituir isso na equação de potenciais iguais:
Simplificando
:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da carga total:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Passo 7
Resolvendo para
:
E, como
:
Resposta
As cargas finais são
na esfera A e
na esfera B.
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Derive.
Se
for uma função derivável, encontre uma expressão para a derivada de cada uma das seguintes funções.
Calcule as integrais definidas a seguir: