Derive: , onde é uma função derivável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas e funções compostas. Vamos precisar usar a regra do quociente, a regra da cadeia e simplificar as expressões algébricas para facilitar a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos reescrever cada parte:
  • já está simplificado.
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Então, podemos reescrever a função como:

Passo 5

Vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando os expoentes de :
Então:

Passo 6

Agora, vamos derivar usando a regra do produto. Temos três fatores:
  1. (constante)
A derivada será:

Passo 7

Vamos calcular cada derivada separadamente:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 9

Simplificando cada termo:
  1. O segundo termo já está simplificado.
Então:

Passo 10

Podemos fatorar dos dois termos:
Calculando o expoente:
Então:

Passo 11

Como , podemos reescrever:

Passo 12

Finalmente, podemos expressar a derivada de forma organizada:

Resposta

A derivada de é:

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Derive:
Derive:
Derive: , onde é uma função derivável.
Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de sujeitos aos vínculos indicados.
(a) sujeito ao vínculo