Derive:
, onde
é uma função derivável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com derivadas e funções compostas. Vamos precisar usar a regra do quociente, a regra da cadeia e simplificar as expressões algébricas para facilitar a derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos reescrever cada parte:
-
-
-
já está simplificado.
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Então, podemos reescrever a função como:
Passo 5
Vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando os expoentes de
:
Então:
Passo 6
Agora, vamos derivar
usando a regra do produto. Temos três fatores:
-
(constante) -
-
A derivada será:
Passo 7
Vamos calcular cada derivada separadamente:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 9
Simplificando cada termo:
-
-
O segundo termo já está simplificado.
Então:
Passo 10
Podemos fatorar
dos dois termos:
Calculando o expoente:
Então:
Passo 11
Como
, podemos reescrever:
Passo 12
Finalmente, podemos expressar a derivada de forma organizada:
Resposta
A derivada de
é:
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Derive:
Derive:
Derive:
, onde
é uma função derivável.
Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(a) sujeito ao vínculo
;
(a)