Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de f sujeitos aos vínculos indicados.
(a) f(x, y) = y^2 - 4xy + 4x^2 sujeito ao vínculo x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os extremos da função sujeito à condição . Isso significa que queremos saber onde a função atinge seus valores máximos e mínimos, mas só considerando os pontos que estão na circunferência de raio 1. Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática que ajuda a otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Quando temos uma função que queremos maximizar ou minimizar com uma restrição , a ideia é encontrar pontos onde o gradiente de é paralelo ao gradiente de . Isso dá a gente um sistema de equações para resolver.

Passo 3

Então, vamos definir nossa restrição . Agora, calculamos os gradientes de e :

Passo 4

Segundo a técnica dos multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Isso nos dá o sistema de equações:
E claro, não podemos esquecer da nossa restrição:

Passo 5

Vamos simplificar as equações. A primeira equação fica:
Podemos rearranjar:
Agora, a segunda equação:

Passo 6

Agora temos duas expressões para . Igualando elas:
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Juntando os termos:
Fatorando:
Então, ou .

Passo 7

Vamos considerar cada caso separadamente.
Caso 1:
Usando a restrição :
Então, .
Caso 2:
Usando a restrição :
Então, .

Resposta

Os extremos da função são nos seguintes pontos:

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