Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(a)
sujeito ao vínculo
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os extremos da função
sujeito à condição
. Isso significa que queremos saber onde a função atinge seus valores máximos e mínimos, mas só considerando os pontos que estão na circunferência de raio 1. Para resolver isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica da matemática que ajuda a otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Quando temos uma função
que queremos maximizar ou minimizar com uma restrição
, a ideia é encontrar pontos onde o gradiente de
é paralelo ao gradiente de
. Isso dá a gente um sistema de equações para resolver.
Passo 3
Então, vamos definir nossa restrição
. Agora, calculamos os gradientes de
e
:
Passo 4
Segundo a técnica dos multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Isso nos dá o sistema de equações:
E claro, não podemos esquecer da nossa restrição:
Passo 5
Vamos simplificar as equações. A primeira equação fica:
Podemos rearranjar:
Agora, a segunda equação:
Passo 6
Agora temos duas expressões para
. Igualando elas:
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Juntando os termos:
Fatorando:
Então,
ou
.
Passo 7
Vamos considerar cada caso separadamente.
Caso 1:
Usando a restrição
:
Então,
.
Caso 2:
Usando a restrição
:
Então,
.
Resposta
Os extremos da função são nos seguintes pontos:
Exercícios relacionados
Derive:
, onde
é uma função derivável.
Derive:
, onde
é uma função derivável.
Integre:
Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha a certeza da existência da solução do P.V.I proposto.
.