Derive a relaçâo para um gás que obedeça a seguinte equaçăo de estado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a relação entre e para um gás que segue a equação de estado . Isso está ligado ao estudo de termodinâmica, especificamente às capacidades caloríficas a pressão constante () e a volume constante (). Para resolver, vamos precisar usar conceitos de propriedades termodinâmicas e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação de estado para expressar a pressão em função de e . A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Então, isolando :
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a diferença entre as capacidades caloríficas e está relacionada com a expansibilidade térmica e a compressibilidade isentrópica do gás. A relação geral é:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas usando a expressão que encontramos para .
Passo 4
Primeiro, calculamos . Mantendo o volume constante, derivamos em relação a :
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar ( partial Vpartial T )p. Para isso, usamos a equação de estado e derivamos V em relação a T mantendo a pressão constante.
A partir da equação rearranjada:
p = R Tv - av^2
Resolvendo para T:
T = vR (p + av^2)
Derivando T em relação a v a pressão constante:
partial Tpartial v g|p = 1R (p - 2av^2)
Então, inversamente:
partial vpartial T g|p = Rp - 2av^2
Passo 6
Agora, substituímos as derivadas na fórmula da diferença das capacidades caloríficas:
Cp - Cv = T ( Rv ) ( Rp - 2av^2 )
Simplificando:
Cp - Cv = R^2 Tv ( p - 2av^2 )
Resposta
A diferença entre as capacidades caloríficas é dada por: