Derive a relaçâo para um gás que obedeça a seguinte equaçăo de estado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a relação entre e para um gás que segue a equação de estado . Isso está ligado ao estudo de termodinâmica, especificamente às capacidades caloríficas a pressão constante ( ) e a volume constante ( ). Para resolver, vamos precisar usar conceitos de propriedades termodinâmicas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação de estado para expressar a pressão em função de e . A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Então, isolando :

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a diferença entre as capacidades caloríficas e está relacionada com a expansibilidade térmica e a compressibilidade isentrópica do gás. A relação geral é:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas usando a expressão que encontramos para .

Passo 4

Primeiro, calculamos . Mantendo o volume constante, derivamos em relação a :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar . Para isso, usamos a equação de estado e derivamos em relação a mantendo a pressão constante.
A partir da equação rearranjada:
Resolvendo para :
Derivando em relação a a pressão constante:
Então, inversamente:

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas na fórmula da diferença das capacidades caloríficas:
Simplificando:

Resposta

A diferença entre as capacidades caloríficas é dada por:

Exercícios relacionados

Um sistema termodinâmico realiza um trabalho de 200 J sobre as suas vizinhanças, enquanto sua energia interna diminui 150 J . Calcule a quantidade de calor trocada pelo sistema com as suas vizinhanças.
Determine a de uma mistura de 10 mols de e 2 mols de à .
Um mol de um gás diatômico ideal sofre uma expansão isotérmica a 300 K , dobrando seu volume. Determine o trabalho realizado pelo gás e a quantidade de calor trocada.
Um gás ideal monoatômico, inicialmente a e 1 atm , sofre uma expansão isobárica até que seu volume duplique. Calcule a quantidade de calor absorvido pelo gás.