Derive a relaçâo Cp-Cv para um gás que obedeça a seguinte equaçăo de estado: R T=(p+a / v^2) v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a relação entre Cp e Cv para um gás que segue a equação de estado R T = (p + av^2) v. Isso está ligado ao estudo de termodinâmica, especificamente às capacidades caloríficas a pressão constante ( Cp) e a volume constante ( Cv). Para resolver, vamos precisar usar conceitos de propriedades termodinâmicas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação de estado para expressar a pressão p em função de T e v. A equação dada é:
R T = (p + av^2) v
Dividindo ambos os lados por v, temos:
p + av^2 = R Tv
Então, isolando p:
p = R Tv - av^2

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a diferença entre as capacidades caloríficas Cp e Cv está relacionada com a expansibilidade térmica e a compressibilidade isentrópica do gás. A relação geral é:
Cp - Cv = T ( partial ppartial T )V ( partial Vpartial T )p
Vamos calcular cada uma dessas derivadas usando a expressão que encontramos para p.

Passo 4

Primeiro, calculamos ( partial ppartial T )V. Mantendo o volume V constante, derivamos p em relação a T:
partial ppartial T g|V = Rv

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar ( partial Vpartial T )p. Para isso, usamos a equação de estado e derivamos V em relação a T mantendo a pressão constante.
A partir da equação rearranjada:
p = R Tv - av^2
Resolvendo para T:
T = vR (p + av^2)
Derivando T em relação a v a pressão constante:
partial Tpartial v g|p = 1R (p - 2av^2)
Então, inversamente:
partial vpartial T g|p = Rp - 2av^2

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas na fórmula da diferença das capacidades caloríficas:
Cp - Cv = T ( Rv ) ( Rp - 2av^2 )
Simplificando:
Cp - Cv = R^2 Tv ( p - 2av^2 )

Resposta

A diferença entre as capacidades caloríficas é dada por:
Cp - Cv = R^2 Tv ( p - 2av^2 )

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