Encontre a série de Fourier para cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier para a função definida por partes:
Aqui, estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo
. A fórmula para
é:
Vamos calcular essa integral dividindo o intervalo conforme a definição da função:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que multiplicam os termos de cosseno. A fórmula para
é:
Novamente, dividindo o intervalo:
A primeira integral é zero. Para a segunda:
Isso ocorre porque
para todo
inteiro.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que multiplicam os termos de seno. A fórmula para
é:
Dividindo o intervalo:
A primeira integral é zero. Para a segunda:
Sabendo que
, temos:
Resposta
A série de Fourier para a função dada é:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
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<html><head></head><body><div>Derive o resultado em (b) para mostrar que, para <span class=“math-inline “>
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transform=“translate(533,289) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g><rect width=“3388” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(12967.8,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(13968,0)”><path data-c=“22EF” d=“M78 250Q78 274 95 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<html><head></head><body><div>Faça uma extensão ímpar, periódica de período com o período indicado e determine a série de senos para as seguintes funções: <span class=“math-inline “>
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<html><head></head><body><div>Encontre a série de Fourier para cada função abaixo: <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -3.281ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“35.5ex” height=“7.692ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1950 15691 3400”><title>f(x) = { L + x, -L <= x <= 0; L - x, 0 <= x <= L; f(x + 2L) = f(x) }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 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