Encontre a série de Fourier para cada função abaixo: f(x) = { 0, se -L <= x < 0 ou x = L, a, se 0 <= x < L; a pertence aos reais. }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier para a função definida por partes:
Aqui, estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente , que representa a média da função no intervalo . A fórmula para é:
Vamos calcular essa integral dividindo o intervalo conforme a definição da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os termos de cosseno. A fórmula para é:
Novamente, dividindo o intervalo:
A primeira integral é zero. Para a segunda:
Isso ocorre porque para todo inteiro.

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os termos de seno. A fórmula para é:
Dividindo o intervalo:
A primeira integral é zero. Para a segunda:
Sabendo que , temos:

Resposta

A série de Fourier para a função dada é:

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