Encontre a série de Fourier para cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Fourier para a função definida por partes:
Aqui, estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo
. A fórmula para
é:
Vamos calcular essa integral dividindo o intervalo conforme a definição da função:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que multiplicam os termos de cosseno. A fórmula para
é:
Novamente, dividindo o intervalo:
A primeira integral é zero. Para a segunda:
Isso ocorre porque
para todo
inteiro.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que multiplicam os termos de seno. A fórmula para
é:
Dividindo o intervalo:
A primeira integral é zero. Para a segunda:
Sabendo que
, temos:
Resposta
A série de Fourier para a função dada é: