Derive:
s) e^x * (x-2) / x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente à regra do produto e à regra do quociente. Vamos precisar conhecer como derivar funções exponenciais e funções racionais, além de aplicar essas regras para encontrar a derivada correta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação das regras de derivação. Temos:
Dessa forma, podemos ver que estamos lidando com um produto de três fatores: , , e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto para derivar . A regra do produto diz que a derivada de um produto de funções é igual à soma das derivadas de cada função multiplicadas pelas demais. No caso de três funções, temos:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente:

  1. (Derivada de é )

  2. (Derivada de é 1 e a derivada de constante é 0)

  3. (A derivada da função exponencial é ela mesma)

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão anterior, temos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar cada termo:

Passo 7

Podemos fatorar dos termos 1 e 3 para simplificar ainda mais:

Passo 8

Simplificando a expressão dentro dos colchetes:
Então,

Passo 9

Vamos distribuir :
Agora, combinando os termos semelhantes:

Passo 10

Finalmente, podemos fatorar :

Resposta

A derivada de é:

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