Derive as seguintes funções:
f) f(z)=(sech(z)+1)/(1-z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de derivação da função . Aqui, vamos usar as regras de derivação que aprendemos no estudo de cálculo, especificamente a Regra do Quociente. Para isso, precisamos lembrar como derivar funções como a secante hiperbólica ( ) e aplicar a regra corretamente para encontrar a derivada da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que iremos derivar. A função está escrita como um quociente de duas funções:
onde:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Quociente, que nos diz que a derivada de é:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Vamos começar derivando . Sabemos que a derivada de é:
E a derivada de uma constante, como 1, é 0. Portanto:

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada de é 0 e a derivada de é . Assim:

Passo 6

Com e encontrados, podemos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
E:
Então, juntando tudo:

Resposta

A derivada da função é:

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