Determine onde em
a função
está crescendo e decrescendo.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para descobrir onde, no intervalo de
, a função
está crescendo ou decrescendo. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função muda. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função
e analisar onde essa derivada é positiva (função crescendo) ou negativa (função decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação à variável
. Então, vamos derivar cada termo de
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. A derivada de uma constante, como 3, é 0. Então:
Simplificando:
Passo 3
Agora, queremos saber onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada
:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Vamos resolver a inequação
e
no intervalo
.
Passo 4
Para encontrar onde
:
E para
:
Passo 5
Vamos resolver essas inequações para encontrar os valores de
onde a função cresce ou decresce.
Primeiro, note que podemos reescrever a condição para facilitar a resolução:
Podemos usar a identidade trigonométrica para combinar os termos:
Onde:
No nosso caso,
e
, então:
Então,
Passo 6
Agora, sabemos que o sinal de
depende do sinal de
.
-
quando está no primeiro ou segundo quadrante. -
quando está no terceiro ou quarto quadrante.
Portanto:
-
quando . -
quando .
Vamos encontrar os valores de
no intervalo
que satisfazem essas condições.
Passo 7
Calculando
:
Então, queremos resolver:
Vamos encontrar os intervalos onde isso acontece no intervalo
.
Passo 8
A função seno é negativa quando seu argumento está entre
e
, e assim sucessivamente. Vamos encontrar os valores de
que satisfazem:
No intervalo
, isso se traduz em
entre
e
.
Para a segunda condição:
Resposta
No intervalo de
, a função
está crescendo quando
está entre
e
, e decrescendo quando
está entre
e
.