Determine onde em [-3,5] a função R(w) = 7 cos(w) - sen(w) + 3 está crescendo e decrescendo.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para descobrir onde, no intervalo de , a função está crescendo ou decrescendo. A matéria envolvida aqui é o cálculo de derivadas, que nos ajuda a entender como uma função muda. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde essa derivada é positiva (função crescendo) ou negativa (função decrescendo).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação à variável w. Então, vamos derivar cada termo de :
A derivada de é e a derivada de é . A derivada de uma constante, como 3, é 0. Então:
Simplificando:

Passo 3

Agora, queremos saber onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada :
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Vamos resolver a inequação e no intervalo .

Passo 4

Para encontrar onde :
E para :

Passo 5

Vamos resolver essas inequações para encontrar os valores de w onde a função cresce ou decresce.
Primeiro, note que podemos reescrever a condição para facilitar a resolução:
Podemos usar a identidade trigonométrica para combinar os termos:
Onde:
No nosso caso, e , então:
Então,

Passo 6

Agora, sabemos que o sinal de depende do sinal de .
  • quando theta está no primeiro ou segundo quadrante.
  • quando theta está no terceiro ou quarto quadrante.
Portanto:
  • quando .
  • quando .
Vamos encontrar os valores de w no intervalo que satisfazem essas condições.

Passo 7

Calculando :
Então, queremos resolver:
Vamos encontrar os intervalos onde isso acontece no intervalo .

Passo 8

A função seno é negativa quando seu argumento está entre pi e , e assim sucessivamente. Vamos encontrar os valores de w que satisfazem:
No intervalo , isso se traduz em w entre e .
Para a segunda condição:

Resposta

No intervalo de , a função está crescendo quando w está entre e , e decrescendo quando w está entre e .

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