Derive as seguintes funções: y = (1/6) * (3*x + 1)^(4) * (4*x - 1)^(3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Isso envolve cálculo de derivadas, mais especificamente usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. A Regra do Produto é usada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas, e a Regra da Cadeia é útil quando temos funções compostas, tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função . Temos:
Nossa função fica . A constante fica como está na derivada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra do Produto para derivar . A Regra do Produto diz que:
Então, vamos precisar das derivadas de e , que vamos calcular usando a Regra da Cadeia.

Passo 4

Vamos derivar usando a Regra da Cadeia. Se temos , a derivada é . Assim:
Agora, vamos derivar :

Passo 5

Com as derivadas de e calculadas, aplicamos a Regra do Produto:
Podemos fatorar o termo comum :
Simplificando dentro do colchete:
Então:

Resposta

A derivada da função é:

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