Usando as regras de derivação, resolva: (b) Se f(x) + x^2 * [f(x)]^3 = 10 e f(3)=2, encontre f'(3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
Sabemos que e queremos encontrar . A matéria que vamos usar aqui é derivação, especificamente a derivação implícita. Para resolver isso, vamos precisar derivar ambos os lados da equação em relação a e depois substituir os valores conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . A equação original é:
Derivando termo a termo:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. Para derivar , usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Vamos lá:
Então, a derivada total fica:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Podemos agrupar os termos que contêm :
Isolando :
Então, dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos: e :
Calculando passo a passo:
  • Então, a equação fica:

Resposta

O valor de é:

Exercícios relacionados