Derive as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas e vamos precisar aplicar a regra da cadeia (também conhecida como regra do composto) para resolver. Basicamente, vamos quebrar a função em partes menores e derivar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. Isso significa que temos uma função composta, onde temos o cotangente de
, e depois todo esse resultado elevado à quarta potência.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 4
Vamos identificar as partes internas e externas da nossa função:
- Função externa:
, onde - Função intermediária:
, onde - Função interna:
Passo 5
Agora, vamos derivar cada parte separadamente.
-
Derivada da função externa
em relação a : -
Derivada da função intermediária
em relação a : -
Derivada da função interna
em relação a :
Passo 6
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia multiplicando essas derivadas:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada da função é:
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Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto
.