Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada, denotada por
ou
, nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Basta substituir
na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é 16.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente. A fórmula é:
Onde
é a inclinação e
é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente no ponto de contato. Para duas retas serem perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser -1.
Já que a inclinação da reta tangente é 16, a inclinação da reta normal será:
Passo 6
Usando novamente a forma ponto-inclinação com a inclinação da reta normal e o ponto
:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A reta tangente ao gráfico da função no ponto
é
e a reta normal é
.
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Derive as seguintes funções:
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Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto
.
Dada a função
, obter e interpretar
quando
varia de de 2 a 2,05 .