Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico de cada uma das funções a seguir nos pontos indicados.
no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada, denotada por ou , nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Basta substituir na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é 16.

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente. A fórmula é:
Onde é a inclinação e é o ponto dado.
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente no ponto de contato. Para duas retas serem perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser -1.
Já que a inclinação da reta tangente é 16, a inclinação da reta normal será:

Passo 6

Usando novamente a forma ponto-inclinação com a inclinação da reta normal e o ponto :
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A reta tangente ao gráfico da função no ponto é e a reta normal é .

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