Derive as seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de derivação da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com regras de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas das funções logarítmica e da tangente.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que queremos derivar: . Nosso objetivo é encontrar , que representa a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 4

Aqui, podemos ver que temos duas funções compostas:
  • A função externa , onde .
  • A função interna .

Passo 5

Primeiro, encontramos a derivada da função externa em relação a :

Passo 6

Agora, encontramos a derivada da função interna em relação a :
A derivada da tangente é:
Aqui, usamos a regra da cadeia novamente, derivando que dá .

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as derivadas que encontramos:

Passo 8

Simplificamos a expressão:
Sabemos que , mas aqui podemos simplificar da seguinte forma:

Passo 9

Simplificando ainda mais:
(Usamos a identidade )

Passo 10

Então, colocando tudo junto:

Resposta

A derivada da função é .

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