Derive as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de derivação da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com regras de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer as derivadas das funções logarítmica e da tangente.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que queremos derivar:
. Nosso objetivo é encontrar
, que representa a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
é
.
Passo 4
Aqui, podemos ver que temos duas funções compostas:
- A função externa
, onde . - A função interna
.
Passo 5
Primeiro, encontramos a derivada da função externa em relação a
:
Passo 6
Agora, encontramos a derivada da função interna
em relação a
:
A derivada da tangente é:
Aqui, usamos a regra da cadeia novamente, derivando
que dá
.
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as derivadas que encontramos:
Passo 8
Simplificamos a expressão:
Sabemos que , mas aqui podemos simplificar da seguinte forma:
Sabemos que
Passo 9
Simplificando ainda mais:
(Usamos a identidade
)
Passo 10
Então, colocando tudo junto:
Resposta
A derivada da função é
.
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