Derive as seguintes funções: y = ln(tan(x / 2))

Passo 1

Vamos resolver o exercício de derivação da função . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da função que vamos derivar. Temos uma função logarítmica , onde . Para derivar em relação a , vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que .

Passo 3

Vamos calcular . Como , a derivada de em relação a é:
Essa é a derivada da função logarítmica.

Passo 4

Agora, vamos calcular , onde . A derivada da tangente é , então:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente para a função .

Passo 5

Agora, juntamos as duas derivadas usando a regra da cadeia:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Lembrando que e , podemos reescrever a derivada:
Simplificando mais, temos:
Portanto:

Resposta

A derivada da função é .

Exercícios relacionados