Derive as seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício de derivação da função
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as partes da função que vamos derivar. Temos uma função logarítmica
, onde
. Para derivar
em relação a
, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que
.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, a derivada de
em relação a
é:
Essa é a derivada da função logarítmica.
Passo 4
Agora, vamos calcular
, onde
. A derivada da tangente é
, então:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente para a função
.
Passo 5
Agora, juntamos as duas derivadas usando a regra da cadeia:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Lembrando que
e
, podemos reescrever a derivada:
Simplificando mais, temos:
Portanto:
Resposta
A derivada da função
é
.