Um templo antigo possui uma câmara secreta que só se abre sob circunstâncias bem específicas. No dia apropriado, a luz do sol deve entrar através de um orifício em uma parede, a uma altura de 3 m em relação ao chão. Ela deve atingir um espelho polido no chão e ser refletida para atingir uma joia no topo de uma estátua que tem 9 m de altura e está a 20 m de distância do buraco na parede. A que distância da parede o espelho deve ser colocado?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um templo antigo com uma câmara secreta que se abre quando a luz do sol entra por um buraco na parede a 3 metros do chão. Essa luz bate em um espelho no chão e reflete para alcançar uma joia no topo de uma estátua que tem 9 metros de altura e está a 20 metros de distância do buraco. O que precisamos descobrir é a que distância da parede o espelho deve ser colocado.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de reflexão da luz e geometria. Precisamos entender como a luz se comporta quando reflete em um espelho plano e como isso nos ajuda a determinar a posição correta do espelho para que a joia seja iluminada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imaginemos uma parede com um buraco a 3 metros do chão. A luz entra por esse buraco, atinge o espelho no chão e depois reflete até a joia no topo da estátua.
Na reflexão, a Lei da Reflexão diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Isso significa que o caminho da luz até o espelho forma um ângulo com a normal (uma linha perpendicular à superfície do espelho) que é igual ao ângulo que a luz faz ao refletir.
Para facilitar, vamos pensar em uma linha imaginária desde o buraco do sol até o espelho e outra linha desde o espelho até a joia. Essas duas linhas vão formar um triângulo com a parede e a distância até a estátua.
Passo 3
Vamos chamar a distância que queremos encontrar de $ x $, que é a distância do espelho até a parede.
Temos duas alturas envolvidas: 3 metros do buraco até o chão e 9 metros da base da estátua até o topo onde está a joia. A distância horizontal entre o buraco e a estátua é 20 metros.
Usando a semelhança de triângulos, podemos montar uma proporção. O triângulo formado pela altura do buraco (3m) e a distância até o espelho ($ x $) é semelhante ao triângulo formado pela altura da joia (9m) e a distância do espelho até a estátua (20m - $ x $).
Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ x $.
Primeiro, multiplicamos cruzado:
Isso dá:
Agora, somamos $ 3x $ em ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 12:
Resposta
Portanto, o espelho deve ser colocado a 5 metros da parede.