Derive termo a termo a série encontrada na parte a, a fim de achar uma representação em série de potências para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa derivar termo a termo a série que foi encontrada na parte a, para conseguir uma representação em série de potências para a função
. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que são uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Vamos precisar usar técnicas de derivação de séries e conhecimento sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
onde
. No nosso caso, queremos uma série para
. Observamos que
se assemelha à série geométrica, mas elevada ao quadrado. Para lidar com isso, vamos derivar a série geométrica com respeito a
.
Passo 3
Vamos começar derivando a série geométrica básica:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Calculando a derivada do lado esquerdo:
E a derivada do lado direito termo a termo:
Mas queremos a série em termos de
, então vamos ajustar o índice da soma:
Passo 4
Agora, observamos que a expressão que encontramos para a derivada é:
Queremos a representação de
, que já está pronta. Mas para simplificar, podemos fatorar o 2:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
Exercícios relacionados
Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
Use a série
de modo a encontrar uma representação em série de potência para
.
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes.
.
Mostre que se um campo vetorial
é conservativo e se
tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então:
e
.