Derive termo a termo a série encontrada na parte a, a fim de achar uma representação em série de potências para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa derivar termo a termo a série que foi encontrada na parte a, para conseguir uma representação em série de potências para a função . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, que são uma maneira de representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Vamos precisar usar técnicas de derivação de séries e conhecimento sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica é dada por:
onde . No nosso caso, queremos uma série para . Observamos que se assemelha à série geométrica, mas elevada ao quadrado. Para lidar com isso, vamos derivar a série geométrica com respeito a .

Passo 3

Vamos começar derivando a série geométrica básica:
Derivando ambos os lados em relação a :
Calculando a derivada do lado esquerdo:
E a derivada do lado direito termo a termo:
Mas queremos a série em termos de , então vamos ajustar o índice da soma:

Passo 4

Agora, observamos que a expressão que encontramos para a derivada é:
Queremos a representação de , que já está pronta. Mas para simplificar, podemos fatorar o 2:

Resposta

A representação em série de potências para é:

Exercícios relacionados

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
Use a série de modo a encontrar uma representação em série de potência para .
Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes. .
Mostre que se um campo vetorial é conservativo e se tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então: e .