Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos um campo vetorial
, desenhando vetores em pelo menos dez pontos diferentes. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial e como representá-lo graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial. Um campo vetorial atribui um vetor a cada ponto do espaço. No nosso caso, para cada ponto
no plano, temos um vetor
. Isso significa que as componentes do vetor são iguais às coordenadas do ponto.
Passo 3
Agora, vamos escolher dez pontos diferentes no plano para desenhar os vetores. Vamos selecionar pontos que facilitarão a visualização do comportamento do campo vetorial. Por exemplo:
Passo 4
Para cada ponto escolhido, vamos calcular o vetor correspondente usando a fórmula
.
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Agora, com esses vetores calculados, podemos esboçar o campo vetorial. Em cada um dos pontos selecionados, desenhamos um vetor com as componentes correspondentes. Observando os vetores, percebemos que eles apontam diretamente para fora da origem (0,0) e têm direção e sentido alinhados com as coordenadas do ponto. Isso indica que o campo vetorial
é um campo de expansão radial.
Resposta
O campo vetorial
, esboçado em dez pontos diferentes, possui vetores que apontam diretamente para fora da origem, com magnitudes proporcionais às distâncias dos pontos em relação à origem. Cada vetor tem componentes
correspondentes às coordenadas do ponto onde está desenhado.
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.
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Mostre que se um campo vetorial
é conservativo e se
tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então:
e
.
Esboce o campo vetorial
desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes:
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