Determine o intervalo de convergência da série de potência dada. sumn=0^infty x^nn+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potência dada:
sumn=0^infty x^nn+1
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e como elas se comportam para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
an = x^nn+1
O próximo passo é aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = x^n+1(n+1)+1x^nn+1 = x^n+1n+2 cdot n+1x^n = x cdot n+1n+2 :
| an+1an | = |x| cdot n+1n+2
Agora, tiramos o valor absoluto:

Passo 4

Calculamos o limite quando L = limn to infty |x| cdot n+1n+2 = |x| cdot limn to infty n+1n+2 = |x| cdot 1 = |x| tende ao infinito:
Então, temos .

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, queremos que |x| < 1 para que a série converja:
Isso significa que a série converge para valores de cujo valor absoluto é menor que 1. O raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência inicialmente é .

Passo 6

Mas precisamos verificar os extremos do intervalo, ou seja, os pontos sumn=0^infty 1^nn+1 = sumn=0^infty 1n+1 e sumn=0^infty (-1)^nn+1 , para ver se a série converge nesses valores.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que é conhecida por diverge.
  • Para :
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, verificamos que os termos decrescem e tendem a 0, então a série converge condicionalmente.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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