Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potência dada:
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e como elas se comportam para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
O próximo passo é aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, tiramos o valor absoluto:

Passo 4

Calculamos o limite quando tende ao infinito:
Então, temos .

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, queremos que para que a série converja:
Isso significa que a série converge para valores de cujo valor absoluto é menor que 1. O raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência inicialmente é .

Passo 6

Mas precisamos verificar os extremos do intervalo, ou seja, os pontos e , para ver se a série converge nesses valores.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que é conhecida por diverge.
  • Para :
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, verificamos que os termos decrescem e tendem a 0, então a série converge condicionalmente.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados

Use a série de modo a encontrar uma representação em série de potência para .
Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries.
Derive termo a termo a série encontrada na parte a, a fim de achar uma representação em série de potências para .
Esboce o campo vetorial desenhando os vetores em, pelo menos, dez pontos diferentes. .