Use a série de modo a encontrar uma representação em série de potência para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente usar a série para encontrar uma representação em série de potência para a função . Isso envolve trabalho com séries infinitas e manipulação de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série geométrica é uma ferramenta super útil para representar funções como . A série geométrica é dada por:
No nosso caso, queremos representar , então temos .

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica com , obtemos:
Simplificando, a série se torna:

Passo 4

Agora, comparemos essa série com a série fornecida no enunciado: . Embora elas pareçam diferentes, a chave está em entender que ambas são séries de potências, mas com coeficientes distintos.

Passo 5

No entanto, para representar em termos da série , precisamos realizar uma manipulação que relacione ambas as séries.
Uma forma de fazer isso é utilizando a técnica de derivação ou integração termo a termo, mas nesse caso específico, como queremos uma representação direta, podemos reconhecer que a série geométrica já nos fornece a representação necessária.

Passo 6

Portanto, a representação em série de potência para é simplesmente a série geométrica com :

Resposta

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Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries.
Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries.
Determine o intervalo de convergência da série de potência dada.
Derive termo a termo a série encontrada na parte a, a fim de achar uma representação em série de potências para .