Use a série
de modo a encontrar uma representação em série de potência para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente usar a série
para encontrar uma representação em série de potência para a função
. Isso envolve trabalho com séries infinitas e manipulação de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série geométrica é uma ferramenta super útil para representar funções como
. A série geométrica é dada por:
No nosso caso, queremos representar
, então temos
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da série geométrica com
, obtemos:
Simplificando, a série se torna:
Passo 4
Agora, comparemos essa série com a série fornecida no enunciado:
. Embora elas pareçam diferentes, a chave está em entender que ambas são séries de potências, mas com coeficientes distintos.
Passo 5
No entanto, para representar
em termos da série
, precisamos realizar uma manipulação que relacione ambas as séries.
Uma forma de fazer isso é utilizando a técnica de derivação ou integração termo a termo, mas nesse caso específico, como queremos uma representação direta, podemos reconhecer que a série geométrica já nos fornece a representação necessária.
Passo 6
Portanto, a representação em série de potência para
é simplesmente a série geométrica com
:
Resposta
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Derive termo a termo a série encontrada na parte a, a fim de achar uma representação em série de potências para
.