Derive the response of a viscously damped single-degree-of-freedom system to the force by means of the Laplace transformation method.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a resposta de um sistema com um único grau de liberdade, que sofre amortecimento viscoso, quando submetido a uma força . Vamos usar o método da Transformada de Laplace para isso. Para resolver, vamos precisar entender as equações de movimento de sistemas dinâmicos, a transformada de Laplace e como aplicá-la para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de movimento para um sistema massa-mola-amortecedor com amortecimento viscoso. A equação diferencial é dada por:
Aqui,
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento viscoso,
  • é a rigidez da mola,
  • é o deslocamento,
  • é a força aplicada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Assumindo que as condições iniciais são zero ( e ), a equação transformada fica:

Passo 4

Vamos resolver para :
Agora, precisamos encontrar , que é a Transformada de Laplace de . Sabemos que:
Então,

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Para facilitar a inversão, vamos simplificar o denominador. Podemos escrever:
Vamos chamar (frequência natural) e (coeficiente de amortecimento).
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de . Para isso, vamos decompor em frações parciais.
Assumindo que os polos são distintos, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos resolver para os coeficientes , e . Expandindo e igualando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema, encontramos:
  • De 1:
  • Substituindo em 2:
  • Substituindo e em 3:
Simplificando:
Portanto,
E assim, podemos encontrar e .

Passo 8

Com os coeficientes , e determinados, substituímos de volta em :
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Onde é a frequência amortecida.

Resposta

A resposta do sistema é dada por:
Onde:
  • é a frequência natural,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a frequência amortecida.

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