Derive the response of a viscously damped single-degree-of-freedom system to the force F(t)=F0 e^-alpha t u(t) by means of the Laplace transformation method.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a resposta de um sistema com um único grau de liberdade, que sofre amortecimento viscoso, quando submetido a uma força . Vamos usar o método da Transformada de Laplace para isso. Para resolver, vamos precisar entender as equações de movimento de sistemas dinâmicos, a transformada de Laplace e como aplicá-la para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de movimento para um sistema massa-mola-amortecedor com amortecimento viscoso. A equação diferencial é dada por:
m ddotx(t) + c dotx(t) + k x(t) = F(t)
Aqui,
  • é a massa,
  • é o coeficiente de amortecimento viscoso,
  • é a rigidez da mola,
  • é o deslocamento,
  • é a força aplicada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
L dotx(t) = s X(s) - x(0)
L ddotx(t) = s^2 X(s) - s x(0) - dotx(0)
Assumindo que as condições iniciais são zero ( m s^2 X(s) + c s X(s) + k X(s) = F(s) e ), a equação transformada fica:

Passo 4

Vamos resolver para X(s) = F(s)m s^2 + c s + k :
L e^-alpha t u(t) = 1s + alpha
Agora, precisamos encontrar F(s) = F0 cdot 1s + alpha , que é a Transformada de Laplace de . Sabemos que:
Então,

Passo 5

Substituindo X(s) = F0(s + alpha)(m s^2 + c s + k) na expressão de m s^2 + c s + k = m ( s^2 + cm s + km ) :
X(s) = F0m (s + alpha)(s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2)
Para facilitar a inversão, vamos simplificar o denominador. Podemos escrever:
Vamos chamar (frequência natural) e (coeficiente de amortecimento).
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, para encontrar X(s) = As + alpha + B s + Cs^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de F0/m = A (s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2) + (B s + C)(s + alpha) . Para isso, vamos decompor em frações parciais.
Assumindo que os polos são distintos, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos resolver para os coeficientes F0/m = A s^2 + 2 A zeta omegan s + A omegan^2 + B s^2 + (B alpha + C) s + C alpha , F0/m = (A + B) s^2 + (2 A zeta omegan + B alpha + C) s + (A omegan^2 + C alpha) e A (omegan^2 + alpha^2 - 2 zeta omegan alpha) = F0/m . Expandindo e igualando os termos:
A = F0/momegan^2 + alpha^2 - 2 zeta omegan alpha
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema, encontramos:
  • De 1:
  • Substituindo em 2:
  • Substituindo e em 3:
Simplificando:
Portanto,
E assim, podemos encontrar e .

Passo 8

Com os coeficientes X(s) = As + alpha + B s + Cs^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 , x(t) = A e^-alpha t + e^-zeta omegan t [ B cos(omegad t) + C sin(omegad t) ] e determinados, substituímos de volta em :
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Onde é a frequência amortecida.

Resposta

A resposta do sistema é dada por:
x(t) = F0/momegan^2 + alpha^2 - 2 zeta omegan alpha , e^-alpha t + e^-zeta omegan t [ ( -F0/momegan^2 + alpha^2 - 2 zeta omegan alpha ) cos(omegad t) + F0/m (alpha - 2 zeta omegan)omegan^2 + alpha^2 - 2 zeta omegan alpha sin(omegad t) ]
Onde:
  • é a frequência natural,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é a frequência amortecida.

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