Derive the response of a viscously damped single-degree-of-freedom system to the force
by means of the Laplace transformation method.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a resposta de um sistema com um único grau de liberdade, que sofre amortecimento viscoso, quando submetido a uma força
. Vamos usar o método da Transformada de Laplace para isso. Para resolver, vamos precisar entender as equações de movimento de sistemas dinâmicos, a transformada de Laplace e como aplicá-la para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de movimento para um sistema massa-mola-amortecedor com amortecimento viscoso. A equação diferencial é dada por:
Aqui,
-
é a massa, -
é o coeficiente de amortecimento viscoso, -
é a rigidez da mola, -
é o deslocamento, -
é a força aplicada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Assumindo que as condições iniciais são zero (
e
), a equação transformada fica:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Agora, precisamos encontrar
, que é a Transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Então,
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Para facilitar a inversão, vamos simplificar o denominador. Podemos escrever:
Vamos chamar
(frequência natural) e
(coeficiente de amortecimento).
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, para encontrar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de
. Para isso, vamos decompor
em frações parciais.
Assumindo que os polos são distintos, podemos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos resolver para os coeficientes
,
e
. Expandindo e igualando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema, encontramos:
- De 1:
- Substituindo em 2:
→ - Substituindo
e em 3:
Simplificando:
Portanto,
E assim, podemos encontrar
e
.
Passo 8
Com os coeficientes
,
e
determinados, substituímos de volta em
:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Onde
é a frequência amortecida.
Resposta
A resposta do sistema é dada por:
Onde:
-
é a frequência natural, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é a frequência amortecida.
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