Derive:
u)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que derivar a função:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e logarítmicas, além de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do produto, a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar identificando as partes da função que iremos derivar. A função é composta por dois fatores multiplicados:
  1. – uma função exponencial onde a base e o expoente são funções de .
  2. – uma soma que envolve funções logarítmicas e trigonométricas.
Para derivar o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Então, vamos chamar:
Nosso objetivo é encontrar .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar .
Para derivar uma função do tipo , usamos a seguinte fórmula:
Aplicando isso a :
Calculando as derivadas necessárias:
Então,
Simplificando,

Passo 4

Perceba que é exatamente igual a :
Isso simplifica bastante nossa derivação, pois agora sabemos que:
No entanto, já identificamos que e que . Mas, para completar, precisamos derivar .

Passo 5

Vamos derivar .
Primeiro, derivamos cada termo separadamente.
  1. Derivada de :
Usamos a regra do quociente:
Onde e .
Calculando as derivadas:
Então,
  1. Derivada de :
Usamos a regra do produto:
Onde e .
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 6

Agora, juntando as duas derivadas que encontramos para :
Podemos simplificar os termos:
Simplificando ainda mais:

Passo 7

Agora, voltamos à expressão da derivada de :
Substituindo os valores que encontramos:
Então,

Passo 8

Podemos fatorar para simplificar a expressão final:

Resposta

A derivada da função é:

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Derive:
p)
Derive:
m)
b) e .
d)