Derive:
u)
u)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que derivar a função:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e logarítmicas, além de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do produto, a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar identificando as partes da função que iremos derivar. A função
é composta por dois fatores multiplicados:
- – uma função exponencial onde a base e o expoente são funções de
. - – uma soma que envolve funções logarítmicas e trigonométricas.
Para derivar o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz:
Então, vamos chamar:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar .
Para derivar uma função do tipo
, usamos a seguinte fórmula:
Aplicando isso a
:
Calculando as derivadas necessárias:
Então,
Simplificando,
Passo 4
Perceba que
é exatamente igual a
:
Isso simplifica bastante nossa derivação, pois agora sabemos que:
No entanto, já identificamos que e que
. Mas, para completar, precisamos derivar
.
Passo 5
Vamos derivar .
Primeiro, derivamos cada termo separadamente.
- Derivada de :
Usamos a regra do quociente:
Onde e
.
Calculando as derivadas:
Então,
- Derivada de
:
Usamos a regra do produto:
Onde
e
.
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 6
Agora, juntando as duas derivadas que encontramos para
:
Podemos simplificar os termos:
Simplificando ainda mais:
Passo 7
Agora, voltamos à expressão da derivada de
:
Substituindo os valores que encontramos:
Então,
Passo 8
Podemos fatorar para simplificar a expressão final:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Derive:
p)
p)
Derive:
m)
m)
b)
e
.
d)