Derive usando a derivação logarítmica:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação usando derivação logarítmica. A gente tem duas funções diferentes para derivar:
Vamos precisar conhecer a derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função é um produto, quociente ou potência de várias funções. Ela facilita a derivação transformando a função em uma soma, diferença ou múltiplo antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a primeira função: . A derivação logarítmica começa tirando o logaritmo natural dos dois lados da equação para simplificar a expressão. Então, vamos lá:

Passo 3

Agora, vamos simplificar usando propriedades dos logaritmos. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de :
E a divisão dentro do logaritmo vira uma subtração:

Passo 4

Agora, derivamos ambos os lados em relação a . Lembre-se que :

Passo 5

Finalmente, isolamos :
E lembrando que , substituímos de volta:

Passo 6

Agora, vamos derivar a segunda função: . Novamente, começamos tirando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 7

Usamos as propriedades dos logaritmos para transformar o produto em soma:
Simplificando as potências:

Passo 8

Derivamos ambos os lados em relação a :

Passo 9

Isolamos :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas das funções dadas, utilizando derivação logarítmica, são:
  1. Para :
  1. Para :

Exercícios relacionados

Derive a função:
Teorema. São válidas as fórmulas de derivação
a) .
b) .
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.