Derive usando a derivação logarítmica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação usando derivação logarítmica. A gente tem duas funções diferentes para derivar:
Vamos precisar conhecer a derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função
é um produto, quociente ou potência de várias funções. Ela facilita a derivação transformando a função em uma soma, diferença ou múltiplo antes de derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a primeira função:
. A derivação logarítmica começa tirando o logaritmo natural dos dois lados da equação para simplificar a expressão. Então, vamos lá:
Passo 3
Agora, vamos simplificar usando propriedades dos logaritmos. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de
:
E a divisão dentro do logaritmo vira uma subtração:
Passo 4
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
:
Passo 5
Finalmente, isolamos
:
E lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 6
Agora, vamos derivar a segunda função:
. Novamente, começamos tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 7
Usamos as propriedades dos logaritmos para transformar o produto em soma:
Simplificando as potências:
Passo 8
Derivamos ambos os lados em relação a
:
Passo 9
Isolamos
:
Substituindo
de volta:
Resposta
As derivadas das funções dadas, utilizando derivação logarítmica, são:
- Para
:
- Para
:
Exercícios relacionados
Derive a função:
Teorema. São válidas as fórmulas de derivação
a) .
b) .
a)
b)
Encontre a derivada da função.
Encontre a derivada da função.