Teorema. São válidas as fórmulas de derivação
a) .
b) .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que as fórmulas de derivação para as funções e estão corretas. Ou seja, queremos provar que:
a)
b) para
Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em relação a .
Passo 2
Vamos começar com a função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente à curva dessa função em um ponto específico. No caso de , sabemos que é uma função muito especial porque sua taxa de variação é ela mesma.
Para encontrar a derivada, usamos a definição de derivada:
Aplicando isso para :
Sabemos que , então:
Portanto, a derivada de é , confirmando a parte a).
Passo 3
Agora, vamos para a função . Queremos encontrar sua derivada usando a definição também.
Utilizando propriedades dos logaritmos:
Fazendo a substituição , quando , . Assim:
Portanto, a derivada de é para , confirmando a parte b).