Teorema. São válidas as fórmulas de derivação
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que as fórmulas de derivação para as funções
e
estão corretas. Ou seja, queremos provar que:
a)
b)
para
Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como uma função está mudando em relação a
.
Passo 2
Vamos começar com a função
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente à curva dessa função em um ponto específico. No caso de
, sabemos que é uma função muito especial porque sua taxa de variação é ela mesma.
Para encontrar a derivada, usamos a definição de derivada:
Aplicando isso para
:
Sabemos que
, então:
Portanto, a derivada de
é
, confirmando a parte a).
Passo 3
Agora, vamos para a função
. Queremos encontrar sua derivada usando a definição também.
Utilizando propriedades dos logaritmos:
Fazendo a substituição
, quando
,
. Assim:
Portanto, a derivada de
é
para
, confirmando a parte b).
Resposta
As derivadas são:
a)
.
b)
para
.