Derive usando o metodod de derinacao imphcita as sequintes fencodés trigonometricas inversas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar algumas funções trigonométricas inversas usando o método de diferenciação implícita. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente quando lidamos com funções inversas como arcsin, arccos e arctan. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diferenciação implícita e como aplicá-la nessas funções.

Passo 2

Vamos começar com a função inversa do seno, que é o . Queremos encontrar a derivada dessa função em relação a .
Primeiro, vamos substituir por :
Isso significa que:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembre-se de que, ao diferenciar , precisamos usar a regra da cadeia, já que é uma função de .
Diferenciando:
Agora, isolamos :
Mas queremos a derivada em termos de , então precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Como , temos:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função inversa do cosseno, que é o .
Começamos definindo:
Isso implica:
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a :
Isolando :
Novamente, queremos a derivada em termos de . Sabemos que:
Como , temos:
Portanto:
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Vamos agora derivar a função inversa da tangente, que é o .
Definimos:
Isso significa:
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a :
Isolando :
Sabemos que . Como , temos:
Portanto:

Resposta

As derivadas das funções trigonométricas inversas usando o método de diferenciação implícita são:

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(a) (1.0 PT.) ;

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