Derive usando o metodod de derinacao imphcita as sequintes fencodés trigonometricas inversas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para derivar algumas funções trigonométricas inversas usando o método de diferenciação implícita. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente quando lidamos com funções inversas como arcsin, arccos e arctan. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é diferenciação implícita e como aplicá-la nessas funções.
Passo 2
Vamos começar com a função inversa do seno, que é o
. Queremos encontrar a derivada dessa função em relação a
.
Primeiro, vamos substituir
por
:
Isso significa que:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembre-se de que, ao diferenciar
, precisamos usar a regra da cadeia, já que
é uma função de
.
Diferenciando:
Agora, isolamos
:
Mas queremos a derivada em termos de
, então precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Como
, temos:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função inversa do cosseno, que é o
.
Começamos definindo:
Isso implica:
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Novamente, queremos a derivada em termos de
. Sabemos que:
Como
, temos:
Portanto:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 4
Vamos agora derivar a função inversa da tangente, que é o
.
Definimos:
Isso significa:
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Sabemos que
. Como
, temos:
Portanto:
Resposta
As derivadas das funções trigonométricas inversas usando o método de diferenciação implícita são:
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(a) (1.0 PT.)
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