Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado define a função
. Isso significa que
é a função inversa da cosecante. Nosso objetivo aqui é entender melhor essa função e, provavelmente, derivá-la. Vamos precisar saber sobre funções trigonométricas inversas e como calcular suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A
é a função inversa da , ou seja, se
, então .
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, vamos usar uma técnica de derivação para funções inversas. Sabemos que:
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
.
Passo 4
Derivando ambos os lados:
Isso resulta em:
Aqui, usamos a derivada da , que é , multiplicada pela derivada de
em relação a
devido à regra da cadeia.
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Então, rearranjamos a equação:
Simplificando, temos:
Passo 6
Para simplificar ainda mais, vamos expressar e
em termos de
, já que . Sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função
é:
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Derive usando o metodod de derinacao imphcita as sequintes fencodés trigonometricas inversas.
Encontre as soluções das seguintes inequações:
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