Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado define a função . Isso significa que é a função inversa da cosecante. Nosso objetivo aqui é entender melhor essa função e, provavelmente, derivá-la. Vamos precisar saber sobre funções trigonométricas inversas e como calcular suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . A é a função inversa da , ou seja, se , então .

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , vamos usar uma técnica de derivação para funções inversas. Sabemos que:
Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a .

Passo 4

Derivando ambos os lados:
Isso resulta em:
Aqui, usamos a derivada da , que é , multiplicada pela derivada de em relação a devido à regra da cadeia.

Passo 5

Agora, queremos isolar . Então, rearranjamos a equação:
Simplificando, temos:

Passo 6

Para simplificar ainda mais, vamos expressar e em termos de , já que . Sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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Derive usando o metodod de derinacao imphcita as sequintes fencodés trigonometricas inversas.
Encontre as soluções das seguintes inequações:
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