Derive utilizando as regras de derivação para derivar as funções abaixo… y = x^3 / (1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivarmos a função usando as regras de derivação. Isso está dentro da área de cálculo, especificamente de derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma divisão entre duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso, temos:
  • Numerador ( ):
  • Denominador ( ):

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do quociente para derivadas. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
    Usamos a regra do poder, que diz que .
    Então, .
  • Derivada de :
    A derivada de uma constante é zero, e novamente usamos a regra do poder para .
    Então, .

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Portanto:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar o numerador para simplificar ainda mais:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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