Derive y = (1 + cos(x)) / (sen(x)^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente derivar a função . Isso tá relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar dessas regras e aplicar de forma correta pra encontrar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos uma fração onde:
  • O numerador é
  • O denominador é
Para derivar uma fração, usamos a regra do quociente, que diz que se , então a derivada é:

Passo 3

Vamos calcular , a derivada do numerador:
A derivada de 1 é 0 e a derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada do denominador:
Podemos reescrever como e usar a regra da cadeia. A derivada de é , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente com os valores que encontramos:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Simplificando o numerador:
Então, o numerador fica:

Passo 7

O denominador é:
Então, temos:

Passo 8

Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por :
Simplificando:

Passo 9

Podemos fatorar dos dois últimos termos:

Resposta

A derivada da função é:

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