Derive y = sen(3 x) / (x arctan(4 x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, a matéria envolvida é cálculo diferencial, mais especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essas regras passo a passo para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos um quociente, ou seja, uma fração onde o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Para derivar um quociente, usamos a regra do quociente, que diz que , onde é o numerador e é o denominador.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e .
  • Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de é . Então,
  • Derivada de :
    Aqui temos um produto de duas funções, então usamos a regra do produto: .
    Primeiro, derivamos :
    Depois, derivamos usando a regra da cadeia:
    Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente com as derivadas que encontramos:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão final:

Resposta

A derivada da função é:

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