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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a segunda derivada de
. Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar conhecer a derivada da função arcsecante e aplicar as regras de derivação adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função
. A derivada primeira de arcsec(x) é dada por:
Essa fórmula vem da regra de derivação de funções inversas trigonométricas. Aqui, usamos a regra da cadeia porque arcsecante é uma função composta.
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada, nosso próximo passo é encontrar a segunda derivada,
. Para isso, precisamos derivar
.
Vamos reescrever
para facilitar a derivação:
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente ou a regra da cadeia para derivar
. É mais fácil usar a regra da cadeia aqui. Vamos definir:
Então,
A derivada de
em relação a x é:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Dado que:
Aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Substituímos
de volta na expressão para
:
Lembrando que
, então
. Portanto:
Resposta
A segunda derivada de
é: