Encontre f''(x) onde f(x) = arcsec(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a segunda derivada de . Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar conhecer a derivada da função arcsecante e aplicar as regras de derivação adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da função . A derivada primeira de arcsec(x) é dada por:
Essa fórmula vem da regra de derivação de funções inversas trigonométricas. Aqui, usamos a regra da cadeia porque arcsecante é uma função composta.

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada, nosso próximo passo é encontrar a segunda derivada, . Para isso, precisamos derivar .
Vamos reescrever para facilitar a derivação:

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente ou a regra da cadeia para derivar . É mais fácil usar a regra da cadeia aqui. Vamos definir:
Então,
A derivada de em relação a x é:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Dado que:
Aplicamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Substituímos de volta na expressão para :
Lembrando que , então . Portanto:

Resposta

A segunda derivada de é:

Exercícios relacionados