Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos em que a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta à medida que
muda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo. Então, vamos calcular a derivada de
.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é:
Isso foi feito aplicando a regra de potência: a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero ou indefinida, pois esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Nossa derivada
está sempre definida, então vamos resolver:
Passo 5
Vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Esses são os pontos críticos onde a função pode mudar de comportamento.
Passo 6
Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido por esses pontos críticos:
,
e
.
-
Intervalo
:
Escolha: A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha: A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha: A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
.