Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = x^3 - 3*x^2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos em que a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta à medida que muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo. Então, vamos calcular a derivada de .

Passo 3

A derivada de em relação a é:
Isso foi feito aplicando a regra de potência: a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde a derivada é zero ou indefinida, pois esses pontos podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Nossa derivada está sempre definida, então vamos resolver:

Passo 5

Vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções:
Esses são os pontos críticos onde a função pode mudar de comportamento.

Passo 6

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo definido por esses pontos críticos: , e .
  • Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
  • Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Intervalo :
    Escolha :
    A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo .

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