Derive. y=t sen t1+t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para derivar a função . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que são frações envolvendo produtos. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Quociente, que nos diz como derivar uma função que é o quociente de duas outras funções. Se temos y' = u'v - uv'v^2 , então a derivada é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, precisamos derivar . Aqui, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
Sabemos que u' = t' cdot sen t + t cdot (sen t)' e , então:

Passo 4

Em seguida, derivamos v' = (1)' + t' = 0 + 1 = 1 :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente com os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo :

Passo 7

Então, substituindo de volta na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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