Qual o valor de
de uma partícula em um poço de potencial infinito de comprimento
tal que a separação entre níveis adjacentes
seja igual à energia do movimento térmico
? Aqui temos que
é a constante de Boltzmann e
a temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor de
para uma partícula num poço de potencial infinito de comprimento
. Queremos que a diferença de energia entre dois níveis adjacentes,
, seja igual à energia do movimento térmico, que é
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas dos níveis de energia em um poço de potencial infinito e igualar essa diferença à energia térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são os níveis de energia de uma partícula em um poço de potencial infinito. A energia dos níveis é dada por:
Aqui:
-
é a energia do nível , -
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é o comprimento do poço, -
é o número quântico (1, 2, 3, …).
Passo 3
Agora, queremos encontrar a diferença de energia entre dois níveis adjacentes, ou seja,
. Vamos calcular isso usando a fórmula que acabamos de ver:
Simplificando:
Passo 4
A questão nos diz que essa diferença de energia deve ser igual à energia do movimento térmico, que é
. Então, vamos igualar as duas expressões:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
Em seguida, isola
:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Para simplificar, especialmente se
for grande, podemos ignorar o
:
Resposta
O valor de
é aproximadamente: