Qual o valor de n de uma partícula em um poço de potencial infinito de comprimento L tal que a separação entre níveis adjacentes (En+1-En) seja igual à energia do movimento térmico (12 kB T) ? Aqui temos que kB é a constante de Boltzmann e T a temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o valor de para uma partícula num poço de potencial infinito de comprimento . Queremos que a diferença de energia entre dois níveis adjacentes, , seja igual à energia do movimento térmico, que é . Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas dos níveis de energia em um poço de potencial infinito e igualar essa diferença à energia térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são os níveis de energia de uma partícula em um poço de potencial infinito. A energia dos níveis é dada por:
En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2
Aqui:
  • é a energia do nível ,
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • é o comprimento do poço,
  • é o número quântico (1, 2, 3, …).

Passo 3

Agora, queremos encontrar a diferença de energia entre dois níveis adjacentes, ou seja, En+1 - En = (n+1)^2 pi^2 hbar^22mL^2 - n^2 pi^2 hbar^22mL^2 . Vamos calcular isso usando a fórmula que acabamos de ver:
En+1 - En = (2n + 1) pi^2 hbar^22mL^2
Simplificando:

Passo 4

A questão nos diz que essa diferença de energia deve ser igual à energia do movimento térmico, que é (2n + 1) pi^2 hbar^22mL^2 = 12 kB T . Então, vamos igualar as duas expressões:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para (2n + 1) pi^2 hbar^2 = mL^2 kB T . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
2n + 1 = mL^2 kB Tpi^2 hbar^2
Em seguida, isola :

Passo 6

Finalmente, resolvemos para 2n = mL^2 kB Tpi^2 hbar^2 - 1 :
n = mL^2 kB T2pi^2 hbar^2 - 12
Dividindo ambos os lados por 2:
n approx mL^2 kB T2pi^2 hbar^2
Para simplificar, especialmente se for grande, podemos ignorar o :

Resposta

O valor de n approx mL^2 kB T2pi^2 hbar^2 é aproximadamente:

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