Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Determine os valores de
e
associados aos seguintes harmônicos esféricos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre momentum angular orbital e harmônicos esféricos. Nosso objetivo é descobrir os valores de
e
para o harmônico esférico dado:
Para resolver isso, vamos usar os operadores de momentum angular fornecidos:
Vamos aplicar esses operadores no
para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
aplicando o operador
no harmônico esférico:
Observando que
não depende de
, a derivada em relação a
será zero:
Portanto:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos calcular
aplicando o operador
no harmônico esférico:
Como
não depende de
, a última derivada em relação a
será zero. Vamos simplificar:
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo:
Simplificando:
Agora, sabemos que aplicar
em
deve resultar em
:
Comparando com o que obtivemos:
Cancelando termos comuns:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para
:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Como
representa o número quântico do momentum angular e deve ser um número inteiro não negativo, descartamos
. Portanto:
Resposta
Os valores são
e
.
Exercícios relacionados
Diferenciação Implicita
Considerando que as equações nos exercícios definem
como uma função diferenciável de
, use o Teorema 8 para encontrar o valor de
no ponto dado.
Considerando que as equações nos exercícios
Derive.
Encontre
por derivação implícita.
Determine
nas equações a seguir:
g)
g)