Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
ellz=hbari partialpartial phi, ell^2=-hbar^2(cos thetasin theta partialpartial theta+partial^2partial theta^2+1sin ^2 theta partial^2partial phi^2)
Determine os valores de ell e mell associados aos seguintes harmônicos esféricos:
Yell, mell=raiz34 pi cos theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre momentum angular orbital e harmônicos esféricos. Nosso objetivo é descobrir os valores de ell e mell para o harmônico esférico dado:
Yell, mell = raiz34 pi cos theta
Para resolver isso, vamos usar os operadores de momentum angular fornecidos:
ellz = hbari partialpartial phi, ell^2 = -hbar^2 ( cos thetasin theta partialpartial theta + partial^2partial theta^2 + 1sin^2 theta partial^2partial phi^2 )
Vamos aplicar esses operadores no Yell, mell para encontrar ell e mell.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular mell aplicando o operador ellz no harmônico esférico:
ellz Yell, mell = hbari partialpartial phi ( raiz34 pi cos theta )
Observando que Yell, mell não depende de phi, a derivada em relação a phi será zero:
partialpartial phi ( raiz34 pi cos theta ) = 0
Portanto:
ellz Yell, mell = 0
Isso significa que:
ellz Yell, mell = hbar mell Yell, mell = 0 implies mell = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular ell aplicando o operador ell^2 no harmônico esférico:
ell^2 Yell, mell = -hbar^2 ( cos thetasin theta partialpartial theta + partial^2partial theta^2 + 1sin^2 theta partial^2partial phi^2 ) ( raiz34 pi cos theta )
Como Yell, mell não depende de phi, a última derivada em relação a phi será zero. Vamos simplificar:
ell^2 Yell, mell = -hbar^2 ( cos thetasin theta partialpartial theta + partial^2partial theta^2 ) ( raiz34 pi cos theta )
Calculando as derivadas:
Primeira derivada:
partialpartial theta (cos theta) = -sin theta
Segunda derivada:
partial^2partial theta^2 (cos theta) = -cos theta
Substituindo:
ell^2 Yell, mell = -hbar^2 ( cos thetasin theta (-sin theta) + (-cos theta) ) raiz34 pi
Simplificando:
= -hbar^2 ( -cos theta + (-cos theta) ) raiz34 pi = -hbar^2 (-2 cos theta) raiz34 pi = 2 hbar^2 cos theta raiz34 pi
Agora, sabemos que aplicar ell^2 em Yell, mell deve resultar em hbar^2 ell (ell + 1) Yell, mell:
ell^2 Yell, mell = hbar^2 ell (ell + 1) Yell, mell
Comparando com o que obtivemos:
2 hbar^2 cos theta raiz34 pi = hbar^2 ell (ell + 1) raiz34 pi cos theta
Cancelando termos comuns:
2 = ell (ell + 1)

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para ell:
ell^2 + ell - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
ell = -1 pm raiz1 + 8 2 = -1 pm 3 2
Assim, temos duas soluções:
ell = 1 ou ell = -2
Como ell representa o número quântico do momentum angular e deve ser um número inteiro não negativo, descartamos ell = -2. Portanto:
ell = 1

Resposta

Os valores são ell = 1 e mell = 0.

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