Diferenciação Implicita
Considerando que as equações nos exercícios
definem
como uma função diferenciável de
, use o Teorema 8 para encontrar o valor de
no ponto dado.
Considerando que as equações nos exercícios
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Diferenciação Implícita. A gente tem uma equação que relaciona
e
, e queremos achar a derivada
no ponto específico
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando
está misturado com
numa equação e não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Queremos encontrar
, então vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo da equação:
- Diferenciar
:
Isso funciona como um produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz que a derivada de
é
. Então:
- Diferenciar
:
Novamente, é um produto de
e
. Aplicando a regra do produto:
- Diferenciar
:
A derivada de
em relação a
é simplesmente
.
- Diferenciar
:
Como
é uma constante, a derivada é
.
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas:
Nosso objetivo é isolar
.
Passo 5
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Agora, para encontrar
, basta dividir ambos os lados pela expressão que multiplica
:
Passo 6
Agora, vamos substituir o ponto dado
na expressão que encontramos para
.
Primeiro, substituímos
e
:
Simplificando:
Então:
Resposta
O valor de
no ponto
é
.
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a temperatura.
Usando os seguintes operadores associados ao momento angular orbital nas coordenadas esféricas:
Determine os valores de
e
associados aos seguintes harmônicos esféricos:
Encontre
por derivação implícita.