Diferenciação Implicita
Considerando que as equações nos exercícios 25-28 definem y como uma função diferenciável de x, use o Teorema 8 para encontrar o valor de d y / d x no ponto dado.
x e^y+sen x y+y-ln 2=0, (0, ln 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Diferenciação Implícita. A gente tem uma equação que relaciona x e y, e queremos achar a derivada dy/dx no ponto específico (0, ln 2). Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando y está misturado com x numa equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
x e^y + sen x cdot y + y - ln 2 = 0
Queremos encontrar dy/dx, então vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da equação:
  1. Diferenciar x e^y:
Isso funciona como um produto de duas funções: x e e^y. A regra do produto diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v'. Então:
ddx(x e^y) = e^y + x e^y cdot dydx
  1. Diferenciar sen x cdot y:
Novamente, é um produto de sen x e y. Aplicando a regra do produto:
ddx(sen x cdot y) = cos x cdot y + sen x cdot dydx
  1. Diferenciar y:
A derivada de y em relação a x é simplesmente dydx.
  1. Diferenciar -ln 2:
Como ln 2 é uma constante, a derivada é 0.

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas:
e^y + x e^y cdot dydx + cos x cdot y + sen x cdot dydx + dydx = 0
Nosso objetivo é isolar dydx.

Passo 5

Vamos agrupar os termos que contêm dydx:
(x e^y + sen x + 1) cdot dydx = -e^y - cos x cdot y
Agora, para encontrar dydx, basta dividir ambos os lados pela expressão que multiplica dydx:
dydx = -e^y - cos x cdot yx e^y + sen x + 1

Passo 6

Agora, vamos substituir o ponto dado (0, ln 2) na expressão que encontramos para dydx.
Primeiro, substituímos x = 0 e y = ln 2:
dydx = -e^ln 2 - cos 0 cdot ln 20 cdot e^ln 2 + sen 0 + 1
Simplificando:
  • e^ln 2 = 2
  • cos 0 = 1
  • sen 0 = 0
Então:
dydx = -2 - 1 cdot ln 20 + 0 + 1 = -2 - ln 2

Resposta

O valor de dfracdydx no ponto (0, ln 2) é -2 - ln 2.

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