Derive:
y=e^-x sec (x^2).

Passo 1

Beleza! Vamos derivar a função y = e^-x sec(x^2). Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A regra do produto é usada quando temos duas funções multiplicadas e a regra da cadeia é usada para derivar funções que estão dentro de outra função. Então, só precisamos lembrar dessas duas regras e aplicar no nosso problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estamos multiplicando. Aqui, temos:
  • u = e^-x
  • v = sec(x^2).
A regra do produto diz que a derivada de y = u cdot v é dada por:
y' = u' v + u v'.
Então, precisamos calcular u' e v' separadamente.

Derivando u = e^-x

Para derivar u = e^-x, usamos a regra da exponencial. A derivada de e^f(x) é e^f(x) cdot f'(x). Aqui, f(x) = -x, então f'(x) = -1. Portanto:
u' = e^-x cdot (-1) = -e^-x

Derivando v = sec(x^2)

Agora, vamos derivar v = sec(x^2). A derivada da secante é:
ddx(sec(x)) = sec(x) tan(x) cdot f'(x),
onde f(x) é a função dentro da secante.
Aqui, temos f(x) = x^2, então encontramos que f'(x) = 2x. Aplicando a fórmula:
v' = sec(x^2) tan(x^2) cdot (2x) = 2x sec(x^2) tan(x^2)

Passo 3

Agora que temos u' e v', vamos aplicar a regra do produto. Substituindo os resultados que encontramos, temos:
y' = (-e^-x) cdot sec(x^2) + e^-x cdot (2x sec(x^2) tan(x^2))
Podemos simplificar isso. Fica assim:
y' = -e^-x sec(x^2) + 2x e^-x sec(x^2) tan(x^2)
Colocando e^-x sec(x^2) em evidência, temos:
y' = e^-x sec(x^2) (2x tan(x^2) - 1)

Resposta

Então, a derivada de y = e^-x sec(x^2) é:
y' = e^-x sec(x^2) (2x tan(x^2) - 1)

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