Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
f(x)=(2 x+1)^ln x.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisaríamos encontrar a derivada usando derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica que facilita o cálculo da derivada de funções que envolvem produtos, quocientes ou potências, e isso é muito útil quando temos uma função complexa como essa. Para resolver, vamos precisar da definição de derivada e das propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da função para facilitar o processo de derivação. Então, temos:
ln f(x) = ln((2x + 1)^ln x)
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente, temos:
ln f(x) = ln x cdot ln(2x + 1)

Passo 3

Agora, vamos derivar os dois lados da equação em relação a 1f(x) cdot dfdx . Aqui, precisamos lembrar que, para derivar ddx [ln x cdot ln(2x + 1)] = ln(2x + 1) cdot ddx (ln x) + ln x cdot ddx (ln(2x + 1)) , usamos a regra da cadeia. A derivada de = ln(2x + 1) cdot 1x + ln x cdot 22x + 1 é:
Agora, para o lado direito, usamos a regra do produto para derivar :
A derivada de é e, para , aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é , então a derivada de é . Assim, podemos substituir:

Passo 4

Então, juntando tudo, temos:
1f(x) cdot dfdx = ln(2x + 1) cdot 1x + ln x cdot 22x + 1
Multiplicando ambos os lados por dfdx = (2x + 1)^ln x ( ln(2x + 1) cdot 1x + ln x cdot 22x + 1 ) , que é :

Resposta

Portanto, a derivada dydx = (2x + 1)^ln x ( ln(2x + 1)x + 2 ln x2x + 1 ) da função é:

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