Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre R^3, então
div(rot nabla f)=0

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação que diz: se a função tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas em , então . Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional (ou “rot”).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os operadores envolvidos:
  • Gradiente ( ): É um vetor que aponta na direção de maior aumento de e tem magnitude igual à taxa de variação máxima de .
  • Rotacional ( ): Também conhecido como “curl”, ele mede a tendência de um campo vetorial girar em torno de um ponto. Quando aplicamos o rotacional a um gradiente, estamos basicamente avaliando quanta rotação há na direção de maior aumento de .
  • Divergência ( ): Mede a quantidade de “fluxo” que sai de um ponto. Se a divergência é zero, significa que não há fluxo líquido saindo desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão rot nabla f = 0 :
  • É uma identidade conhecida em cálculo vetorial que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre o vetor zero. Ou seja,
Isso ocorre porque o gradiente aponta na direção de maior aumento de , e essa direção é irrotacional por natureza (não há “giro” nesse campo vetorial).

Passo 4

Como div(rot nabla f) = div(0) , podemos substituir na expressão original:
div(0) = 0
  • A divergência do vetor zero é sempre zero:

Resposta

A afirmação é verdadeira. Sempre que tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas em , temos porque o rotacional do gradiente de é o vetor zero, cuja divergência também é zero.

Exercícios relacionados

Suponha que f seja uma função injetora, derivável e que sua função inversa seja também derivável. Use a derivação implícita para mostrar que
(f^-1)^prime(x)=1f^prime(f^-1(x))
desde que o denominador não seja 0 .
Derive:
y=sec 3 x.
A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação P V=8,31 T onde P é medi em quilopascals, V em litros e T em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 12,3 L e a temperatura diminui de 310 K para 305 K .
Derive:
y=e^-x sec (x^2).