Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas sobre
, então
Se
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que diz: se a função
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas em
, então
. Vamos resolver isso usando conceitos de cálculo vetorial, especificamente divergência e rotacional (ou “rot”).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os operadores envolvidos:
-
Gradiente (
): É um vetor que aponta na direção de maior aumento de e tem magnitude igual à taxa de variação máxima de . -
Rotacional (
): Também conhecido como “curl”, ele mede a tendência de um campo vetorial girar em torno de um ponto. Quando aplicamos o rotacional a um gradiente, estamos basicamente avaliando quanta rotação há na direção de maior aumento de . -
Divergência (
): Mede a quantidade de “fluxo” que sai de um ponto. Se a divergência é zero, significa que não há fluxo líquido saindo desse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
:
- É uma identidade conhecida em cálculo vetorial que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar
é sempre o vetor zero. Ou seja,
Isso ocorre porque o gradiente aponta na direção de maior aumento de
, e essa direção é irrotacional por natureza (não há “giro” nesse campo vetorial).
Passo 4
Como
, podemos substituir na expressão original:
- A divergência do vetor zero é sempre zero:
Resposta
A afirmação é verdadeira. Sempre que
tem derivadas parciais de todas as ordens contínuas em
, temos
porque o rotacional do gradiente de
é o vetor zero, cuja divergência também é zero.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma função injetora, derivável e que sua função inversa seja também derivável. Use a derivação implícita para mostrar que
desde que o denominador não seja 0 .
Derive:
.
A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação
onde
é medi em quilopascals,
em litros e
em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de
para
e a temperatura diminui de 310 K para 305 K .
Derive:
.