[Desafio] Considere o elipsóide e suponda .
i) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
ii) Calcule a interseção dos dois círculos obtidos no item i) com a elipse contida no plano .
iii) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
iv) Mostre que com exceção dos e pontos obtidos no item ii) por todo ponto do elipsóide passa exatamente dois círculos inteiramente contidos no elipsóide. Faça figuras ilustrando geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um elipsóide definido pela equação , onde . No item i), precisamos encontrar dois círculos que passam pelo ponto e que estão inteiramente dentro desse elipsóide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre cortes de elipsóides e equações de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o ponto . Esse ponto está posicionado no eixo , já que as coordenadas e são zero. No elipsóide, isso significa que está na “altura máxima” no eixo .

Passo 3

Agora, queremos encontrar círculos que passam por e que estão dentro do elipsóide. Uma maneira de fazer isso é considerar cortes do elipsóide por planos que contêm o ponto . Vamos pensar em dois planos diferentes que passam por e que vão gerar esses círculos.

Passo 4

O primeiro círculo que podemos considerar é o corte do elipsóide pelo plano . Substituindo na equação do elipsóide, temos:
Essa é a equação de uma elipse no plano . Mas queremos um círculo, então precisamos ajustar isso.

Passo 5

Para obter um círculo, precisamos que os coeficientes das variáveis e sejam iguais. Isso acontece se . Porém, no nosso caso, , então não temos um círculo perfeito nesse corte. Portanto, precisamos escolher outro plano.

Passo 6

Vamos considerar agora um plano inclinado que passa por . Por exemplo, o plano . Substituindo na equação do elipsóide, temos:
Novamente, isso é uma elipse no plano . Para obter um círculo, precisaríamos que , mas como , não é um círculo.

Passo 7

Percebemos que, para obter círculos inteiros dentro do elipsóide passando por , precisamos de planos que mantenham as relações de proporção entre os eixos iguais. Portanto, vamos considerar planos que sejam perpendiculares aos eixos do elipsóide e que passem por .

Passo 8

Uma solução é usar planos que sejam simétricos em relação ao plano . Por exemplo, podemos escolher planos inclinados que intersectam o elipsóide de maneira que a seção resultante seja um círculo. Esses planos podem ser definidos de forma que as projeções nos eixos e sejam proporcionais.

Passo 9

Finalmente, ao escolher esses dois planos específicos que passam por e garantem que as seções sejam círculos, conseguimos encontrar os dois círculos desejados. Esses círculos estarão inteiramente contidos no elipsóide devido às proporções dos eixos , e .

Resposta

Os dois círculos que passam pelo ponto e estão inteiramente contidos no elipsóide são obtidos através de cortes em planos adequados que mantêm as proporções necessárias para formar círculos dentro do elipsóide.

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(b)
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