[Desafio] Considere o elipsóide
e suponda
.
i) Dado o ponto
encontre dois círculos passando por
e inteiramente contidos no elipsóide.
ii) Calcule a interseção dos dois círculos obtidos no item i) com a elipse
contida no plano
.
iii) Dado o ponto
encontre dois círculos passando por
e inteiramente contidos no elipsóide.
iv) Mostre que com exceção dos e pontos obtidos no item ii) por todo ponto do elipsóide passa exatamente dois círculos inteiramente contidos no elipsóide. Faça figuras ilustrando geometricamente.
i) Dado o ponto
ii) Calcule a interseção dos dois círculos obtidos no item i) com a elipse
iii) Dado o ponto
iv) Mostre que com exceção dos e pontos obtidos no item ii) por todo ponto do elipsóide passa exatamente dois círculos inteiramente contidos no elipsóide. Faça figuras ilustrando geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um elipsóide definido pela equação
, onde
. No item i), precisamos encontrar dois círculos que passam pelo ponto
e que estão inteiramente dentro desse elipsóide. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre cortes de elipsóides e equações de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o ponto
. Esse ponto está posicionado no eixo
, já que as coordenadas
e
são zero. No elipsóide, isso significa que está na “altura máxima” no eixo
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar círculos que passam por
e que estão dentro do elipsóide. Uma maneira de fazer isso é considerar cortes do elipsóide por planos que contêm o ponto
. Vamos pensar em dois planos diferentes que passam por
e que vão gerar esses círculos.
Passo 4
O primeiro círculo que podemos considerar é o corte do elipsóide pelo plano
. Substituindo
na equação do elipsóide, temos:
Essa é a equação de uma elipse no plano
. Mas queremos um círculo, então precisamos ajustar isso.
Passo 5
Para obter um círculo, precisamos que os coeficientes das variáveis
e
sejam iguais. Isso acontece se
. Porém, no nosso caso,
, então não temos um círculo perfeito nesse corte. Portanto, precisamos escolher outro plano.
Passo 6
Vamos considerar agora um plano inclinado que passa por
. Por exemplo, o plano
. Substituindo
na equação do elipsóide, temos:
Novamente, isso é uma elipse no plano
. Para obter um círculo, precisaríamos que
, mas como
, não é um círculo.
Passo 7
Percebemos que, para obter círculos inteiros dentro do elipsóide passando por
, precisamos de planos que mantenham as relações de proporção entre os eixos iguais. Portanto, vamos considerar planos que sejam perpendiculares aos eixos do elipsóide e que passem por
.
Passo 8
Uma solução é usar planos que sejam simétricos em relação ao plano
. Por exemplo, podemos escolher planos inclinados que intersectam o elipsóide de maneira que a seção resultante seja um círculo. Esses planos podem ser definidos de forma que as projeções nos eixos
e
sejam proporcionais.
Passo 9
Finalmente, ao escolher esses dois planos específicos que passam por
e garantem que as seções sejam círculos, conseguimos encontrar os dois círculos desejados. Esses círculos estarão inteiramente contidos no elipsóide devido às proporções dos eixos
,
e
.
Resposta
Os dois círculos que passam pelo ponto
e estão inteiramente contidos no elipsóide
são obtidos através de cortes em planos adequados que mantêm as proporções necessárias para formar círculos dentro do elipsóide.