Resolva a equação de Bernoulli: y^prime+2 x y=y^2.

Passo 1

Então, temos a equação de Bernoulli que precisamos resolver. Isso está dentro do estudo de Equações Diferenciais, mais especificamente das Equações de Bernoulli. Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma técnica de substituição que transforma essa equação num formato mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso:
A ideia aqui é fazer uma substituição que simplifique a equação para uma equação linear.

Passo 3

Fazemos a substituição v = y^-1 . Como v' = -y^-2 y' , então:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Vamos substituir y' = y^2 - 2x y na equação original. Da equação v' = -y^-2(y^2 - 2x y) = -1 + 2x y^-1 = -1 + 2x v , isolamos :
Substituindo isso na expressão de :

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em v' - 2x v = -1 :
mu(x) = e^integral -2x , dx = e^-x^2
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante e^-x^2 v' - 2x e^-x^2 v = -e^-x^2 :
ddx ( e^-x^2 v ) = -e^-x^2
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a e^-x^2 v = integral -e^-x^2 , dx + C :
v = -e^x^2 integral e^-x^2 , dx + C e^x^2
Portanto:

Passo 8

Lembrando que y = 1C e^x^2 - integral e^-x^2 , dx , substituímos de volta para encontrar :
A integral é conhecida como a função erro ( ), então podemos expressar a solução final usando essa função especial.

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli y(x) = 1C e^x^2 - integral e^-x^2 , dx é:
Onde é uma constante de integração e representa a função erro.

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