Resolva a equação de Bernoulli: .

Passo 1

Então, temos a equação de Bernoulli que precisamos resolver. Isso está dentro do estudo de Equações Diferenciais, mais especificamente das Equações de Bernoulli. Para resolver essa equação, vamos precisar usar uma técnica de substituição que transforma essa equação num formato mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso:
A ideia aqui é fazer uma substituição que simplifique a equação para uma equação linear.

Passo 3

Fazemos a substituição . Como , então:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Vamos substituir na equação original. Da equação , isolamos :
Substituindo isso na expressão de :

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Portanto:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
A integral é conhecida como a função erro ( ), então podemos expressar a solução final usando essa função especial.

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde é uma constante de integração e representa a função erro.

Exercícios relacionados

Sejam e uma base ordenada de . Determine .
Sejam um espaço vetorial sobre com e um subconjunto não-vazio de . Mostre que as seguintes condições são equivalentes:
(a) é um conjunto independente maximal de , no seguinte sentido: não existe subconjunto de tal que ;
(b) é um conjunto minimal de geradores de , no seguinte sentido: não existe subconjunto de geradores de tal que ;
Sejam e . Mostre que o conjunto é se, e somente se, o conjunto é , para todos , com .
[Desafio] Considere o elipsóide e suponda .
i) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
ii) Calcule a interseção dos dois círculos obtidos no item i) com a elipse contida no plano .
iii) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
iv) Mostre que com exceção dos e pontos obtidos no item ii) por todo ponto do elipsóide passa exatamente dois círculos inteiramente contidos no elipsóide. Faça figuras ilustrando geometricamente.