Sejam e . Mostre que o conjunto é se, e somente se, o conjunto é , para todos , com .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço e um número real . O objetivo é mostrar que esse conjunto é linearmente independente (LI) se, e somente se, o conjunto em que substituímos qualquer vetor por também é LI, para todos os índices .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e propriedades da independência linear. Precisaremos manipular as equações que definem a independência linear e verificar como as alterações nos vetores afetam essa propriedade.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
implica que .

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto alterado . Queremos mostrar que a independência linear desse novo conjunto é equivalente à do conjunto original.
Para isso, assumimos que o conjunto original é LI e mostramos que o conjunto alterado também é LI, e vice-versa.

Passo 4

Primeiro, suponha que o conjunto original seja LI. Vamos ver o que acontece no conjunto alterado.
Se considerarmos uma combinação linear dos vetores do conjunto alterado igual a zero:
Podemos distribuir :

Passo 5

Agora, agrupamos os termos que envolvem :
Como o conjunto original é LI, cada coeficiente deve ser zero:
Dessa equação, vemos que . Mas como , então .

Passo 6

Assim, todos os coeficientes são zero, o que mostra que o conjunto alterado também é LI.
Agora, precisamos mostrar o inverso: se o conjunto alterado é LI, então o conjunto original também é LI.

Passo 7

Suponha que o conjunto alterado seja LI. Vamos considerar uma combinação linear dos vetores do conjunto original igual a zero:

Passo 8

Podemos reescrever . Substituindo na equação:
Distribuindo :

Passo 9

Agrupando os termos que envolvem :
Como o conjunto alterado é LI, todos os coeficientes devem ser zero:
Da equação , segue que .

Resposta

Portanto, mostramos que o conjunto é linearmente independente se, e somente se, o conjunto também for linearmente independente para todos .

Exercícios relacionados

Resolva a equação de Bernoulli: .
Sejam e uma base ordenada de . Determine .
[Desafio] Considere o elipsóide e suponda .
i) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
ii) Calcule a interseção dos dois círculos obtidos no item i) com a elipse contida no plano .
iii) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
iv) Mostre que com exceção dos e pontos obtidos no item ii) por todo ponto do elipsóide passa exatamente dois círculos inteiramente contidos no elipsóide. Faça figuras ilustrando geometricamente.
Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(b)