Sejam
e
. Mostre que o conjunto
é
se, e somente se, o conjunto
é
, para todos
, com
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores
no espaço
e um número real
. O objetivo é mostrar que esse conjunto é linearmente independente (LI) se, e somente se, o conjunto em que substituímos qualquer vetor
por
também é LI, para todos os índices
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e propriedades da independência linear. Precisaremos manipular as equações que definem a independência linear e verificar como as alterações nos vetores afetam essa propriedade.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto
é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
implica que
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o conjunto alterado
. Queremos mostrar que a independência linear desse novo conjunto é equivalente à do conjunto original.
Para isso, assumimos que o conjunto original é LI e mostramos que o conjunto alterado também é LI, e vice-versa.
Passo 4
Primeiro, suponha que o conjunto original
seja LI. Vamos ver o que acontece no conjunto alterado.
Se considerarmos uma combinação linear dos vetores do conjunto alterado igual a zero:
Podemos distribuir
:
Passo 5
Agora, agrupamos os termos que envolvem
:
Como o conjunto original é LI, cada coeficiente deve ser zero:
Dessa equação, vemos que
. Mas como
, então
.
Passo 6
Assim, todos os coeficientes
são zero, o que mostra que o conjunto alterado também é LI.
Agora, precisamos mostrar o inverso: se o conjunto alterado é LI, então o conjunto original também é LI.
Passo 7
Suponha que o conjunto alterado
seja LI. Vamos considerar uma combinação linear dos vetores do conjunto original igual a zero:
Passo 8
Podemos reescrever
. Substituindo na equação:
Distribuindo
:
Passo 9
Agrupando os termos que envolvem
:
Como o conjunto alterado é LI, todos os coeficientes devem ser zero:
Da equação
, segue que
.
Resposta
Portanto, mostramos que o conjunto
é linearmente independente se, e somente se, o conjunto
também for linearmente independente para todos
.