Sejam V=R^n e a in R. Mostre que o conjunto u1, ldots, um é L I se, e somente se, o conjunto u1, ldots, ui+a uj, ldots, uj ldots, um é L I, para todos i, j in1, ldots, m, com i.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço e um número real . O objetivo é mostrar que esse conjunto é linearmente independente (LI) se, e somente se, o conjunto em que substituímos qualquer vetor por também é LI, para todos os índices .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e propriedades da independência linear. Precisaremos manipular as equações que definem a independência linear e verificar como as alterações nos vetores afetam essa propriedade.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto c1v1 + c2v2 + ldots + cmvm = 0 é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se:
implica que .

Passo 3

Agora, vamos considerar o conjunto alterado . Queremos mostrar que a independência linear desse novo conjunto é equivalente à do conjunto original.
Para isso, assumimos que o conjunto original é LI e mostramos que o conjunto alterado também é LI, e vice-versa.

Passo 4

Primeiro, suponha que o conjunto original c1u1 + ldots + ci(ui + a uj) + ldots + cjuj + ldots + cmum = 0 seja LI. Vamos ver o que acontece no conjunto alterado.
Se considerarmos uma combinação linear dos vetores do conjunto alterado igual a zero:
c1u1 + ldots + ciui + ci a uj + ldots + cjuj + ldots + cmum = 0
Podemos distribuir :

Passo 5

Agora, agrupamos os termos que envolvem c1u1 + ldots + ciui + (cj + ci a)uj + ldots + cmum = 0 :
c1 = c2 = ldots = ci = cj + ci a = ldots = cm = 0
Como o conjunto original é LI, cada coeficiente deve ser zero:
Dessa equação, vemos que . Mas como , então .

Passo 6

Assim, todos os coeficientes são zero, o que mostra que o conjunto alterado também é LI.
Agora, precisamos mostrar o inverso: se o conjunto alterado é LI, então o conjunto original também é LI.

Passo 7

Suponha que o conjunto alterado c1u1 + ldots + ciui + ldots + cjuj + ldots + cmum = 0 seja LI. Vamos considerar uma combinação linear dos vetores do conjunto original igual a zero:

Passo 8

Podemos reescrever c1u1 + ldots + ci[(ui + a uj) - a uj] + ldots + cjuj + ldots + cmum = 0 . Substituindo na equação:
c1u1 + ldots + ci(ui + a uj) - ci a uj + ldots + cjuj + ldots + cmum = 0
Distribuindo :

Passo 9

Agrupando os termos que envolvem c1u1 + ldots + ci(ui + a uj) + ldots + (cj - ci a)uj + ldots + cmum = 0 :
c1 = c2 = ldots = ci = cj - ci a = ldots = cm = 0
Como o conjunto alterado é LI, todos os coeficientes devem ser zero:
Da equação , segue que .

Resposta

Portanto, mostramos que o conjunto é linearmente independente se, e somente se, o conjunto também for linearmente independente para todos .

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