Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(b) cx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3 x+7 y-7 z=5

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações:
x + y + z = 4 2x + 5y - 2z = 3 x + 7y - 7z = 5
Usaremos o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida. Para isso, vamos precisar entender operações com matrizes e conceitos de posto de matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
1 & 1 & 1 & | & 4 2 & 5 & -2 & | & 3 1 & 7 & -7 & | & 5

Passo 3

O objetivo é transformar essa matriz em uma forma onde cada pivô (o primeiro número não zero em cada linha) seja 1 e que seja o único número na sua coluna.
Primeiro, já temos um 1 na posição (1,1). Vamos eliminar os elementos abaixo desse 1.

Passo 4

Para eliminar o 2 na posição (2,1), fazemos a seguinte operação:
Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 1
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 3 & -4 & | & -5 1 & 7 & -7 & | & 5

Passo 5

Para eliminar o 1 na posição (3,1), fazemos:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 3 & -4 & | & -5 0 & 6 & -8 & | & 1

Passo 6

Agora, focamos na segunda coluna. Queremos que o número na posição (2,2) seja 1. Para isso, dividimos a Linha 2 por 3:
Linha 2 = (1/3) × Linha 2
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -43 & | & -53 0 & 6 & -8 & | & 1

Passo 7

Eliminamos o 6 na posição (3,2) usando a Linha 2:
Linha 3 = Linha 3 - 6 × Linha 2
1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -43 & | & -53 0 & 0 & 0 & | & 11

Passo 8

Observamos que na terceira linha temos 0 = 11, o que é uma contradição. Isso significa que o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema não possui solução, ou seja, é inconsistente.

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